四元数・とは？初心者にも分かる基本と3D回転のしくみ共起語・同意語・対義語も併せて解説！

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岡田康介

名前：岡田康介（おかだこうすけ）ニックネーム：コウ、または「こうちゃん」年齢：28歳性別：男性職業：ブロガー（SEOやライフスタイル系を中心に活動）居住地：東京都（都心のワンルームマンション）出身地：千葉県船橋市身長：175cm 血液型：O型誕生日：1997年4月3日趣味：カフェ巡り、写真撮影、ランニング、読書（自己啓発やエッセイ）、映画鑑賞、ガジェット収集性格：ポジティブでフランク、人見知りはしないタイプ。好奇心旺盛で新しいものにすぐ飛びつく性格。計画性がある一方で、思いついたらすぐ行動するフットワークの軽さもある。 1日（平日）のタイムスケジュール 7:00 起床：軽くストレッチして朝のニュースをチェック。ブラックコーヒーで目を覚ます。 7:30 朝ラン：近所の公園を30分ほどランニング。頭をリセットして新しいアイデアを考える時間。 8:30 朝食＆SNSチェック：トーストやヨーグルトを食べながら、TwitterやInstagramでトレンドを確認。 9:30 ブログ執筆スタート：カフェに移動してノートPCで記事を書いたり、リサーチを進める。 12:30 昼食：お気に入りのカフェや定食屋でランチ。食事をしながら読書やネタ探し。 14:00 取材・撮影・リサーチ：街歩きをしながら写真を撮ったり、新しいお店を開拓してネタにする。 16:00 執筆＆編集作業：帰宅して集中モードで記事を仕上げ、SEOチェックやアイキャッチ作成も行う。 19:00 夕食：自炊か外食。たまに友人と飲みに行って情報交換。 21:00 ブログのアクセス解析・改善点チェック：Googleアナリティクスやサーチコンソールを見て数字を分析。 22:00 映画鑑賞や趣味の時間：Amazonプライムで映画やドラマを楽しむ。 24:00 就寝：明日のアイデアをメモしてから眠りにつく。

はじめに: 四元数とは何か

四元数は、19世紀の数学者ウィリアム・ハミルトンによって発見され、複素数を4つの成分に拡張した数です。四元数は実部と3つの虚部からなり、形は q = w + x i + y j + z k のように書きます。ここで i, j, k は交換法則が成り立たない「虚元」と呼ばれる数で、i^2 = j^2 = k^2 = ijk = -1 という性質を持ちます。

基本的な性質と演算

加法は成分ごとの足し算で、四元数同士の足し算は普通の四元数にも対応します。一方、乗算は非可換です。すなわち q1 q2 と q2 q1 が同じとは限りません。例として i j = k、j i = -k などが挙げられます。

四元数の重要な値として「ノルム」があり、|q| = sqrt(w^2 + x^2 + y^2 + z^2) で求めます。単位四元数（|q| = 1）は回転を表すのに使われます。逆数は q^-1 = q* / |q|^2 で、ここで q* は共役(quaternion conjugate)で、共役は q* = w - x i - y j - z k です。

四元数を使った回転

3次元の回転を扱うとき、四元数を使うと「ジンバルロック」と呼ばれる問題を避けやすく、滑らかな回転が実現できます。回転の手順は次のとおりです。まず、回転軸をベクトル a = (ax, ay, az) とし、回転角 θ を定めます。単位四元数 q は次のように作ります。

able> 式意味 q = cos(θ/2) + (ax i + ay j + az k) sin(θ/2) 回転を表す四元数 ble>

ベクトル v = (vx, vy, vz) を四元数として vi = 0 + vx i + vy j + vz k とします。回転後のベクトルは v' = q v i q^-1 です。 v' は実部が 0 の純粋四元数として得られ、成分として (vx', vy', vz') を取り出せます。

例として、原点から長さ 1 の x軸方向のベクトル v = (1, 0, 0) を z軸周りに 90°回すとします。軸は a = (0, 0, 1) で θ = 90°、q は q = √2/2 + 0 i + 0 j + √2/2 k となります。これを計算すると、回転後のベクトルは v' = (0, 1, 0) となり、x軸が y軸へ 90°回転したことが分かります。

Euler角や回転行列との比較

三次元回転には Euler角や回転行列も使われますが、四元数は次の点で有利です。連続的な補間がしやすい（SLERP という手法）、ギブンロックを避けやすい、数値的に安定などの理由です。

まとめと活用のヒント

日常的な3Dプログラミングやゲーム開発、ロボティクスなど、実世界の回転を扱う場面では四元数の考え方を知っておくと便利です。まずは q = w + x i + y j + z k の形を覚え、ノルム・共役・逆元の計算方法を練習してみましょう。慣れれば、3Dの回転を直感的かつ安定に扱えるようになります。

要点のリスト

四元数とは: 実部と3つの虚部を持つ4次元の数。i, j, k は互いに積み方が独特。
主な性質: 加法は普通、乗法は非可換、共役とノルム、単位四元数は回転を表す。
回転の表現: ベクトルを純粋四元数として q v q^-1 で回転させる。

四元数の同意語

クォータニオン: 英語表記 quaternion の日本語音写。四元数と同じ概念を指す最も一般的な別称です。実数部と虚数部（i, j, k の成分）からなる非可換の代数系で、空間の回転を表現するのに広く用いられます。
ハミルトンの四元数: ハミルトンによって定義された四元数の集合のこと。歴史・教科書上の別称として使われ、四元数と同義で用いられることもあります。
四元数代数: 四元数全体が作る代数系を指す正式な名称。実数成分と三つの虚数成分を持ち、非可換な代数として特徴づけられます。
クォータニオン代数: 四元数代数とほぼ同義の表現。英語名をそのまま日本語化した言い方で、回転の表現や数値計算の文脈で使われます。
四元数群: 文献により、群としての性質を指す場合に使われることがあります。全体の集合を指すこともあれば、有限群の例としての Q8 を指す場合もあるため、文脈に注意してください。

四元数の対義語・反対語

実数: 四元数の虚部がゼロの特例。実数だけで表され、四元数空間のスカラー成分のみを持つ状態。例: 3 + 0i + 0j + 0k。
複素数: 二次元の数体系で、実部と一つの虚数部だけを持つ。四元数の拡張として位置づけられ、次元が2次元の対比になる。
純虚数四元数: 実部がゼロの四元数。ベクトル成分だけを持つ形で、例: 0 + bi + cj + dk。
八元数: 四元数の次の超複素数系。代数の性質が異なり、四元数とは別の拡張として対比される。
可換な数系: 掛け算が可換な数体系の総称。実数・複素数などが該当し、四元数の非可換性と対照的な特徴を示す。
回転行列: 3D回転を表す別の表現系。四元数と同じ用途を持つが、代数的性質や計算方法が異なる対比対象。
スカラー成分のみの数: 実数に近い見方で、四元数のうちベクトル成分（虚数部）を無視したときの表現。

四元数の共起語

複素数: 実部と虚部を持つ2次元の数体系。四元数は複素数を拡張した4成分の数と考えることが多いです。
実部: 四元数の実数部分。たとえば q = a + bi + cj + dk の実部は a。
虚部: 四元数の i, j, k の係数からなる部分。bi + cj + dk の部分を指します。
i: 四元数の第一の虚数単位。i^2 = -1。j, k と組み合わせて他の元を作る。
j: 四元数の第二の虚数単位。j^2 = -1。
k: 四元数の第三の虚数単位。k^2 = -1。
ハミルトン積: 四元数の積のこと。一般に非可換で、2つの四元数を掛け合わせる演算。
共役: q = a + bi + cj + dk の共役は q* = a - bi - cj - dk。対称的な元。
ノルム: 四元数の長さ。||q|| = sqrt(a^2 + b^2 + c^2 + d^2)。
逆元: q の乗法逆元。q^{-1} = q* / ||q||^2。
正規化: ノルムを 1 にして単位四元数にする操作。
単位四元数: ノルムが 1 の四元数。3D 回転を表現するのに便利です。
回転: 3D 空間の回転を表す操作。四元数を使うと回転の連続的な結合が楽になります。
回転軸: 回転の軸となる方向ベクトル。
回転角: 回転の角度。
オイラー角: 3D 回転を別表現する方法。四元数と相互変換されることが多いです。
回転行列: 3×3 の行列で回転を表現。四元数から作成・変換可能です。
SO(3): 3次元回転群。四元数はSO(3)の元として扱われ、回転を効率的に表現できます。
3Dグラフィックス: ゲームやCGでの姿勢・回転の表現に四元数を使います。
ロボティクス: ロボットの姿勢推定・制御に四元数が用いられます。
コンピュータグラフィックス: 3D描画の回転計算に四元数を用いることが多いです。
姿勢推定: センサ情報から向きを推定する分野。四元数での表現が一般的です。
ベクトル部: 虚部の三次元成分（b, c, d）を指します。
スカラー部: 実部 a のこと。
非可換: 四元数の乗法は一般に交換法則が成り立ちません。
四元数代数: 実数体上の四元数からなる代数構造。
ハミルトンの四元数: 四元数を発見・体系化した英語表現。
ベクトル表現: 虚部を3次元ベクトルとして扱う表現方法。
四元数の表現: 回転を四元数で表すための様々な表現・変換方法。
単位球面 S^3: ノルムが 1 の四元数集合は3次元球面 S^3 上の点として表されます。

四元数の関連用語

ハミルトンの四元数: 四元数の正式名称。実部と虚部から成る数体系で q = w + xi + yj + zk。i^2 = j^2 = k^2 = ijk = -1。
実部: 四元数の実数成分で、w に相当する部分。
虚部: 四元数の x i + y j + z k の部分。三次元のベクトルとして扱える。
共役: 共役 q* = w - xi - yj - zk。虚部の符号を反転させたもの。
ノルム: 四元数の大きさ。||q|| = sqrt(w^2 + x^2 + y^2 + z^2)。
逆元: q^{-1} = q* / ||q||^2 。 q とその逆元を掛けると単位四元数になる。
単位四元数: ノルムが 1 の四元数。3D 回転を表現するのに用いられる。
正規化: 四元数をノルム 1 に揃える操作（ q / ||q|| ）。
四元数の積（乗法）: 二つの四元数を掛ける演算。結果は非可換（順序で結果が異なる）。
加法・減法: 対応する成分を足す（加法）・引く（減法）。
虚数単位 i, j, k: 虚部の基底。i^2 = j^2 = k^2 = ijk = -1。非可換。
ベクトル部: 虚部（x, y, z）の部分。三次元ベクトルとして扱える。
回転表現としての四元数: 3D 回転を表現する強力な方法で、角度と軸を用いて q = cos(θ/2) + sin(θ/2) (ux i + uy j + uz k) の形になる。
回転軸と回転角: 回転の軸 u（単位ベクトル）と回転角 θ により四元数を決定する。
回転行列への変換: 四元数を適切に変換して 3×3 回転行列に対応させることができる。
ロドリゲスの回転公式: 三次元回転を別の形式で表す公式。四元数と互換に用いられることがある。
オイラー角との関係: オイラー角は回転を別の表現で表すが、ジンバルロックの問題が起きやすい。四元数はこれを避けやすい。
直交群 SO(3) との関係: 3D 回転群。四元数は SO(3) の連結的な表現として用いられる（1対1の対応には注意が必要）。
SLERP（球面線形補間）: 二つの単位四元数間を滑らかに補間する方法。アニメーション等で使われる。
3Dグラフィックスでの利点: 回転の安定性、ギブズロック回避、補間が滑らか、数値的な安定性が高い。