重解・とは？初心者でもわかる数学の“重解”入門ガイド共起語・同意語・対義語も併せて解説！

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岡田康介

名前：岡田康介（おかだこうすけ）ニックネーム：コウ、または「こうちゃん」年齢：28歳性別：男性職業：ブロガー（SEOやライフスタイル系を中心に活動）居住地：東京都（都心のワンルームマンション）出身地：千葉県船橋市身長：175cm 血液型：O型誕生日：1997年4月3日趣味：カフェ巡り、写真撮影、ランニング、読書（自己啓発やエッセイ）、映画鑑賞、ガジェット収集性格：ポジティブでフランク、人見知りはしないタイプ。好奇心旺盛で新しいものにすぐ飛びつく性格。計画性がある一方で、思いついたらすぐ行動するフットワークの軽さもある。 1日（平日）のタイムスケジュール 7:00 起床：軽くストレッチして朝のニュースをチェック。ブラックコーヒーで目を覚ます。 7:30 朝ラン：近所の公園を30分ほどランニング。頭をリセットして新しいアイデアを考える時間。 8:30 朝食＆SNSチェック：トーストやヨーグルトを食べながら、TwitterやInstagramでトレンドを確認。 9:30 ブログ執筆スタート：カフェに移動してノートPCで記事を書いたり、リサーチを進める。 12:30 昼食：お気に入りのカフェや定食屋でランチ。食事をしながら読書やネタ探し。 14:00 取材・撮影・リサーチ：街歩きをしながら写真を撮ったり、新しいお店を開拓してネタにする。 16:00 執筆＆編集作業：帰宅して集中モードで記事を仕上げ、SEOチェックやアイキャッチ作成も行う。 19:00 夕食：自炊か外食。たまに友人と飲みに行って情報交換。 21:00 ブログのアクセス解析・改善点チェック：Googleアナリティクスやサーチコンソールを見て数字を分析。 22:00 映画鑑賞や趣味の時間：Amazonプライムで映画やドラマを楽しむ。 24:00 就寝：明日のアイデアをメモしてから眠りにつく。

重解とは？意味としくみをやさしく解説

中学生にも身近な来歴として、数学では「解」が複数回現れることがあります。ここでいう重解とは、ある方程式の解が同じ値を何回も取りうる状態のことを指します。たとえばある多項式の根が 2 であるとき、実際にはその根が 2回以上 現れる場合に重解となります。

重解は「重みつきの解」とも言われ、解の個数そのものが式の次数と合わなくなることがあります。これを理解するには、因数分解の考え方がとても役に立ちます。例えば f(x) = (x - 3)^2 という式では、x = 3 が根です。しかもこの根は 2回現れるので、3 は重解です。この感覚を数式で表すと、f(x) を因数分解すると (x - r)^m g(x) となり、r が重解、すなわち multiplicity m であるといえます（m ≥ 2 のとき重解）。

重解を見つけるにはいくつかの方法があります。因数分解で直接見る、導関数を用いる方法、判別式を使う方法などです。最も分かりやすいのは因数分解を使う方法ですが、実際には導関数を使うと重解の有無を判定しやすいことが多いです。いくつかの例で順を追って学びましょう。

重解を見つける基本ステップ

以下は中学生にも実用的な順序です。

方程式を 因数分解 できる形に書き換える。
因数が同じ因子で複数回現れるかを確かめる。例えば (x - r)^2 のように、同じ因子が繰り返されていれば重解。
導関数を用いる場合、f(r) = 0 かつ f'(r) = 0 なら r は重解の候補。
実際に f''(r) などを調べて 重解の次数 を確定する。

実際の例を見ていきましょう。以下の例は、重解の考え方を具体的に示します。

例題で学ぶ重解

例1：f(x) = (x - 2)^2

解は x = 2 です。しかもこの解は重解で、 multiplicity は 2。式を展開すると f(x) = x^2 - 4x + 4 となり、因数分解で同じ因子 (x - 2) が2つ現れることが分かります。

例2：f(x) = x(x - 1)^2

根は x = 0 と x = 1 です。ここで x = 1 は重解（multiplicity 2）ですが、x = 0 は単独の解（multiplicity 1）です。こうした組み合わせは、実際の方程式を観察するときによく現れます。

例3：f(x) = (x - 1)^3

この場合は x = 1 が 三重解（multiplicity 3）です。重解の次数が高くなると、グラフの接し方や交差の仕方も特徴的になります。

表で見る「重解」とその意味

able> 式根重解の度 (x - 2)^2 2 2 x(x - 1)^2 0, 1 1, 2 (x - 1)^3 1 3 ble>

このように、重解は「同じ解が何度も現れる」という現象を指し、方程式の性質を理解するうえでとても重要です。とくに多項式のグラフを描くとき、重解があるかどうかで接し方が変わります。重解を正しく認識できれば、解の総数とその性質を正しく読み解く力がつきます。

重解の関連サジェスト解説

数学重解とは: 重解とは、方程式の解のなかで同じ値が2回以上現れることを指します。特に多項式の世界では、ある解 a が n 回現れるとき、その解の多重度を n と呼び、重解と呼ぶことが多いです。たとえば二次方程式 x^2 − 2x + 1 を考えると、これは (x − 1)^2 に因数分解されます。ここで x = 1 は解として現れますが、出現する回数は2回なので「x = 1 が重解」となります。これに対して x^2 − 3x + 2 は (x − 1)(x − 2) となり、解は x = 1 と x = 2 の2つで、重解はありません。判別式を使って重解を判断する方法も覚えておくと便利です。二次方程式 ax^2 + bx + c = 0 において判別式 D = b^2 − 4ac です。D = 0 のとき重解が1つだけ現れます。D > 0 のときは実数の異なる2つの解、D < 0 のときは実数解がなく複素数の解になります。高次の多項式でも同様の考え方が使えます。例えば (x − 3)^3 = 0 の場合、解は x = 3 で、これは3重解です。重解は次数が高いほど解の数が少なくなり、振る舞いも変わってきます。重解を見つける基本的な方法は、まず因数分解を試して (x − a)^m の形を探すことです。もし因数分解が難しいときは微分を使う方法もあります。多項式 f(x) の重解があるとき、f(x) = 0 となる解 r について f'(r) = 0 も成り立つ場合があり、f(x) と f'(x) が共通の根を持つ点が重解の候補になります。グラフ的には、重解のある点で曲線が x 軸に“触れる”ように交わらず、接する形になります。このように、重解は解の性質とグラフの形を理解するうえで大切なポイントです。日常の勉強では、まず因数分解で重解があるかを確認し、必要に応じて判別式や微分を使って確かめるとよいでしょう。