ベータ分布とは？初心者にも分かる基本と使い方を徹底解説共起語・同意語・対義語も併せて解説！

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岡田康介

名前：岡田康介（おかだこうすけ）ニックネーム：コウ、または「こうちゃん」年齢：28歳性別：男性職業：ブロガー（SEOやライフスタイル系を中心に活動）居住地：東京都（都心のワンルームマンション）出身地：千葉県船橋市身長：175cm 血液型：O型誕生日：1997年4月3日趣味：カフェ巡り、写真撮影、ランニング、読書（自己啓発やエッセイ）、映画鑑賞、ガジェット収集性格：ポジティブでフランク、人見知りはしないタイプ。好奇心旺盛で新しいものにすぐ飛びつく性格。計画性がある一方で、思いついたらすぐ行動するフットワークの軽さもある。 1日（平日）のタイムスケジュール 7:00 起床：軽くストレッチして朝のニュースをチェック。ブラックコーヒーで目を覚ます。 7:30 朝ラン：近所の公園を30分ほどランニング。頭をリセットして新しいアイデアを考える時間。 8:30 朝食＆SNSチェック：トーストやヨーグルトを食べながら、TwitterやInstagramでトレンドを確認。 9:30 ブログ執筆スタート：カフェに移動してノートPCで記事を書いたり、リサーチを進める。 12:30 昼食：お気に入りのカフェや定食屋でランチ。食事をしながら読書やネタ探し。 14:00 取材・撮影・リサーチ：街歩きをしながら写真を撮ったり、新しいお店を開拓してネタにする。 16:00 執筆＆編集作業：帰宅して集中モードで記事を仕上げ、SEOチェックやアイキャッチ作成も行う。 19:00 夕食：自炊か外食。たまに友人と飲みに行って情報交換。 21:00 ブログのアクセス解析・改善点チェック：Googleアナリティクスやサーチコンソールを見て数字を分析。 22:00 映画鑑賞や趣味の時間：Amazonプライムで映画やドラマを楽しむ。 24:00 就寝：明日のアイデアをメモしてから眠りにつく。

ベータ分布とは？

ベータ分布は、0 ≤ x ≤ 1 の区間で定義される連続確率分布の一つです。割合や確率のような値を扱うときに適しています。特に「確率の不確実性」を表すときに使われ、αとβという2つのパラメータで形が決まります。

この分布はベイズ統計の世界でとても重要です。なぜなら、Beta分布を事前分布として使い、データを観測してから事後分布を求めるときに便利な「共役分布」となるからです。共役分布とは、データを観測した後も同じ分布族に属する形で表される性質を指します。

式で表すと、密度関数は次のようになります。 f(x) = x^{α-1} (1-x)^{β-1} / B(α,β)（0 ≤ x ≤ 1）

ここでB(α,β)はベータ関数と呼ばれる正規化定数で、αとβの関係によって分布の形が決まります。

パラメータ α と β

αとβは「形」を決めるパラメータです。どちらも正の実数を取り、αが大きいほど分布は x=1 の方向に、βが大きいほど x=0 の方向に寄りがちになります。二つのパラメータの比によって、山の位置が変わります。

基本的な性質と指標

平均は μ = α / (α+β) で、分布の中心を示します。分散は σ^2 = αβ / [(α+β)^2 (α+β+1)] で、分布のばらつきを表します。 αとβがともに1の場合は一様分布、α>1かつβ>1だと山型、α<1またはβ<1だと尖った形になります。

実務での使い方の例

ベータ分布は、A/B テストの結果を「成功確率 p」の不確実性として扱うときのデファクトスタンダードです。観測データとして「成功回数と失敗回数」が与えられると、事前分布として β(α0, β0) を選び、観測後には β(α0 + 成功回数, β0 + 失敗回数) の形で事後分布を得られます。これが Beta-binomialモデルへの道を作ります。

実生活の例として、ウェブページのクリック率の見積もりや、製品の「購入確率」を更新していく場面などで活用できます。公式の理解だけでなく、具体的な数値例を使って直感を養うことが大切です。以下の表はαとβの組み合わせによる分布の一般的な傾向を示しています。

able>項目説明区間0 ≤ x ≤ 1密度関数f(x) = x^{α-1} (1-x)^{β-1} / B(α,β)平均μ = α / (α+β)分散σ^2 = αβ / [(α+β)^2 (α+β+1)]例α=2, β=5 の場合 μ ≈ 0.286、σ^2 ≈ 0.025ble>

このように、β分布の理解は「0〜1の範囲での割合をどう見積もるか」という問いに対して、直感と数式の両方の両輪で答えを導く手段を与えてくれます。どう使うかはデータの性質と目的次第ですが、初学者にはまずαとβの意味と平均・分散の関係を押さえることをおすすめします。

ベータ分布の同意語

ベータ分布: 0〜1の区間で定義される連続確率分布。形状を決めるパラメータ α と β の二つを持ち、ベイズ推定の共役事前分布などに広く用いられる。
Beta分布: 英語表記の同義語。0〜1の区間を定義域とし、α, β により分布の形が決まる連続確率分布。
β分布: ギリシャ文字のβで表記される略称。0〜1区間の連続確率分布で、α と β の二つの形状パラメータを持つ。
β分布（Beta distribution）: β分布の英語表記と日本語表記の併記。0〜1区間の連続確率分布で、形状はαとβで決まる。
β分布族: β分布のパラメータ組み合わせ（α>0, β>0）によって得られる分布の集合を指す表現。特定のα,βが定まると個別のβ分布になる。

ベータ分布の対義語・反対語

一様分布: 区間 [0,1] で確率が均等な分布。Beta(1,1) がこの形に該当することから、ベータ分布の対比として挙げられることが多い。
ガンマ分布: サポートが [0, ∞) の連続分布。Beta分布が [0,1] に限定されるのに対し、ガンマ分布は正の実数全体を対象とする点が対照的。
正規分布: 左右対称で無限に広がる連続分布。ベータ分布が区間 [0,1] に限定される性質とは異なる、広い実数軸を対象とする分布の代表例。
指数分布: 0 以上の値だけを取り、エルミート的に減衰する連続分布。ガンマ分布の特別ケースにもなり、Beta分布と比べるとサポートと形が大きく異なる。
カイ二乗分布: 自由度に応じて [0, ∞) に広がる連続分布。ガンマ分布の特殊ケースの一つで、非負の値のみを取り、Beta分布の区間との対比で対照的。
ベータプライム分布: Beta分布の比として得られる分布で、サポートは (0, ∞)。値域が [0,1] ではない点が対比。
逆ベータ分布: Beta(a,b) の逆数を取った分布。サポートが (1, ∞) など、Beta分布の逆方向の特性を持つと解釈されることがある。
Weibull分布: 0 以上の値を取り、形状パラメータで裾の広がりが変わる分布。サポートが [0, ∞) であり、Beta分布の [0,1] とは異なる無限サポートを持つ例として挙げられる。

ベータ分布の共起語

αパラメータ: ベータ分布を決定する2つの形状パラメータの一つ。0より大きな実数で、分布の左側の尖り具合を決める。
βパラメータ: もう一つの形状パラメータ。β>0。
形状パラメータ: αとβの総称。分布の形状を決める重要な要素。
確率密度関数: 0から1の区間で定義され、密度関数 f(x;α,β) = x^{α-1} (1-x)^{β-1} / B(α,β) によって表される。
ベータ関数: 正規化定数 B(α,β) を決める関数。B(α,β) = ∫0^1 t^{α-1}(1-t)^{β-1} dt。
ガンマ関数: Γ関数。階乗の連続拡張で、B(α,β) = Γ(α)Γ(β)/Γ(α+β) の定義に使われる。
Γ関数（ガンマ関数）: ベータ関数の分母・分子の計算に現れる特別関数の一つ。
区間: サポート域は [0,1]。確率変数はこの範囲に収まる。
期待値: E[X] = α / (α + β)。分布の平均を示す。
分散: Var[X] = αβ / [(α+β)^2 (α+β+1)]。分布のばらつきを示す。
事前分布: データを観測する前にパラメータ p の確率分布として用いる情報。
共役事前分布: 尤度と同じ族の分布を事後分布として得られる性質。ベータ分布は二項分布の共役事前分布。
Beta-binomial分布: ベータ分布を事前分布として用いたときの、二項データの周辺分布。成功数の分布として現れる。
Dirichlet分布: 多変量版のベータ分布。カテゴリ間の確率ベクトルの事前分布として使われる。ベータ分布はDirichletの2変数版。
Beta回帰（β回帰）: 従属変数が0〜1の範囲にある場合の回帰モデル。ベータ分布を誤差項として用いる。
一様分布（α=1, β=1）: αとβがともに1のとき、0〜1の一様分布に一致。
事後分布: データを得た後のパラメータ p の分布。二項データでは通常β分布になることが多い。
A/Bテストでの利用: コンバージョン確率の推定にベータ分布を用い、事後分布や事後予測を算出する。
確率pの分布: ベータ分布は成功確率 p の分布を表す。0〜1の値をとるパラメータを表現。
モーメント: 分布の期待値・分散など、母集団の特徴を表す指標。

ベータ分布の関連用語

ベータ分布: 区間 [0,1] に値をとる連続確率分布。成功の比率を表すベイズ推定でよく使われる。
パラメータ α (アルファ): 分布の形を決める正の実数。成功の仮想的回数を表す。
パラメータ β (ベータ): 分布の形を決める正の実数。失敗の仮想的回数を表す。
ベータ関数: B(α,β) = Γ(α)Γ(β)/Γ(α+β) で定義され、ベータ分布の分母になる正の関数。
Γ関数: 階乗の拡張で、ベータ関数の定義にも使われる。
ベータ分布の確率密度関数: f(x) = x^{α-1}(1-x)^{β-1} / B(α,β) で表され、0 ≤ x ≤ 1。
ベータ分布の平均: E[X] = α / (α+β)。
ベータ分布の分散: Var[X] = αβ / [(α+β)^2(α+β+1)]。
ベータ分布のモード: α>1 かつ β>1 のとき、モードは (α-1)/(α+β-2)。
サポート: Xは0から1の区間に取り、境界は確率密度が0になる場合が多い（パラメータ次第で異なる）。
不完全ベータ関数: CDFは不完全ベータ関数 I_x(α,β) で表される。
形状パラメータ: αとβが形状を決め、値の尖り方や対称性を決める。
β分布は共役事前分布: 二項分布の尤度に対して共役な事前分布として使われ、事後が同じ形になる。
事前分布: データを観測する前に仮定する分布。β分布を使うことが多い。
事後分布: データを観測した後の分布。β prior + Binomial likelihood で Beta posterior になる。
共役事前分布: 尤度と計算結果が同じ分布の族になる性質。βは二項分布の共役 prior。
二項分布: 成功と失敗の回数をモデル化する離散分布。尤度とβ分布の組み合わせで分析する。
ベータ-ビノミアル分布 (Beta-Binomial 分布): 未知の確率 p が Beta で分布していると仮定したとき、観測された成功数が従う分布。
生成方法: Γ分布を用いて X = G1/(G1+G2) でベータ分布を生成できる。
ベータ分布のモーメント: 第1・第2モーメントを通じて α,β の影響を解釈。モーメント公式で計算可能。
形状の対称性と特徴: α=β なら対称、α≠β なら非対称。α/β の比で偏りを表す。
更新式: 事前 Beta(α,β) に対して観測したs=成功数, f=失敗数が加算され、事後は Beta(α+s, β+f) になる。
応用例: A/B テストのベイズ分析など、推定の不確実性を扱う場面で使われる。
特別ケース: Beta(1,1) は一様分布 Uniform(0,1) となる。