極値・とは？いちばんやさしく解説する数学の基礎共起語・同意語・対義語も併せて解説！

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岡田康介

名前：岡田康介（おかだこうすけ）ニックネーム：コウ、または「こうちゃん」年齢：28歳性別：男性職業：ブロガー（SEOやライフスタイル系を中心に活動）居住地：東京都（都心のワンルームマンション）出身地：千葉県船橋市身長：175cm 血液型：O型誕生日：1997年4月3日趣味：カフェ巡り、写真撮影、ランニング、読書（自己啓発やエッセイ）、映画鑑賞、ガジェット収集性格：ポジティブでフランク、人見知りはしないタイプ。好奇心旺盛で新しいものにすぐ飛びつく性格。計画性がある一方で、思いついたらすぐ行動するフットワークの軽さもある。 1日（平日）のタイムスケジュール 7:00 起床：軽くストレッチして朝のニュースをチェック。ブラックコーヒーで目を覚ます。 7:30 朝ラン：近所の公園を30分ほどランニング。頭をリセットして新しいアイデアを考える時間。 8:30 朝食＆SNSチェック：トーストやヨーグルトを食べながら、TwitterやInstagramでトレンドを確認。 9:30 ブログ執筆スタート：カフェに移動してノートPCで記事を書いたり、リサーチを進める。 12:30 昼食：お気に入りのカフェや定食屋でランチ。食事をしながら読書やネタ探し。 14:00 取材・撮影・リサーチ：街歩きをしながら写真を撮ったり、新しいお店を開拓してネタにする。 16:00 執筆＆編集作業：帰宅して集中モードで記事を仕上げ、SEOチェックやアイキャッチ作成も行う。 19:00 夕食：自炊か外食。たまに友人と飲みに行って情報交換。 21:00 ブログのアクセス解析・改善点チェック：Googleアナリティクスやサーチコンソールを見て数字を分析。 22:00 映画鑑賞や趣味の時間：Amazonプライムで映画やドラマを楽しむ。 24:00 就寝：明日のアイデアをメモしてから眠りにつく。

極値・とは？

私たちが日常で「一番大きい」「一番小さい」と感じる場面は、数学の世界では極値という言葉で表されます。極値とは、ある関数がとる値の中で「その点の近くの値より大きい（または小さい）値になる点」のことです。ここでの点は x のような入力の値を指します。極値には大きく分けて 局所極値 と 大域的極値 の2つのタイプがあります。局所極値はその点の周囲だけを比べたときに極端な値になる点であり、大域的極値は定義域全体で最も大きい（最大）または最も小さい（最小）値になる点です。

覚えておきたいのは「極値は必ずしも関数全体の最大最小ではない」ということです。山の形をしたグラフを思い浮かべると、ある頂点はその周辺で最も高い値かもしれませんが、別の場所にはさらに高い頂点があることもあります。これが局所極値と大域的極値の違いを示す例です。

局所極値と大域的極値の違い

局所極値とは、点 x0 の周囲の小さな範囲において、その点の値 f(x0) が周囲より大きい（または小さい）値になることです。たとえば f(x) = x^2 の場合、x = 0 で最小値をとりますが、この最小値は近くの点と比べて局所的な意味での最小値です。

大域的極値とは、関数がとりうる全ての値の中で最大または最小の値になる点です。先ほどの例を別の関数に置き換え、定義域を広く取った場合には大域的な極値が現れます。

どうやって極値を見つけるの？

微分が使える場合、導関数が0になる点や定義域の端点を候補として挙げます。これを 極値の候補と呼び、実際にその点で関数の値が最大か最小かを判定します。微分が難しい場合や定義域が離散的な場合は、値を一つずつ比較して極値を見つけることもあります。

able>手法説明導関数が0の点f'(x) = 0 の解を候補とする。二次導関数法やその他の判定法で判定する。端点の確認定義域の端の点での値も極値になり得る。二次導関数の符号f''(x0) > 0 のとき局所最小、f''(x0) < 0 のとき局所最大、等価でない場合は別の方法を使う。ble>

具体例で見る極値

例1: f(x) = x^2 は x = 0 で局所的にも大域的にも最小値をとります。定義域全体での最小値は 0、最大値は定義域が有限の場合のみ現れます。

例2: f(x) = -x^2 は x = 0 で局所的な最大値を取り、定義域が広い場合には大域的な最大値も同じ点になります。

例3: f(x) = sin(x) は区間を広くとると最大値 1 や最小値 -1 が現れますが、局所的にも山のように繰り返す波形の頂点が現れます。これは局所極値のよい例です。

日常のイメージで理解を深めよう

日常のデータや測定値の中にも極値は現れます。例えば天気データの最高気温や最低気温、スポーツの成績の最高得点などは、局所的な極値として捉えることができます。もしデータが一定の範囲に限定されていれば、その範囲内での最も大きい値や小さい値が大域的極値になります。

練習のヒントとまとめ

極値は関数がとる値の中で特別な「入り口」や「山の頂点」のような点です。局所極値は周囲の範囲で、大域的極値は定義域全体での最高・最低を指します。導関数を使えば候補点を絞り込み、端点を忘れずにチェックします。日常の例と結びつけて考えると理解が進みます。

日常生活やデータ分析の中でも極値の考え方は役立ちます。関数の形を読み解く力や、データの傾向を正しく読み取る力を養う第一歩として、極値の基本を押さえておくとよいでしょう。

極値の関連サジェスト解説

微分極値とは: 微分極値とは、曲線の形と値の関係を結びつける考え方です。まず、微分はある点の接線の傾きを表します。接線の傾きがどの方向に大きく変わるかで、グラフが右に向かって上がるのか左に下がるのかを知ることができます。極値とは、関数の値がその点のまわりの値と比べて最小になる点を最小値、最大になる点を最大値と呼ぶことです。つまりxを動かしたときf(x)の値がこの点で最も小さいか最も大きいかを調べる作業です。極値には「局所的な極値」と「全体の極値」という考え方があります。局所的な極値は、その点の近くだけを見たときに最小または最大になる点で、全体の極値は関数の定義域全体で最小・最大になる点です。