可測空間・とは？初心者向け入門ガイド共起語・同意語・対義語も併せて解説！

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岡田康介

名前：岡田康介（おかだこうすけ）ニックネーム：コウ、または「こうちゃん」年齢：28歳性別：男性職業：ブロガー（SEOやライフスタイル系を中心に活動）居住地：東京都（都心のワンルームマンション）出身地：千葉県船橋市身長：175cm 血液型：O型誕生日：1997年4月3日趣味：カフェ巡り、写真撮影、ランニング、読書（自己啓発やエッセイ）、映画鑑賞、ガジェット収集性格：ポジティブでフランク、人見知りはしないタイプ。好奇心旺盛で新しいものにすぐ飛びつく性格。計画性がある一方で、思いついたらすぐ行動するフットワークの軽さもある。 1日（平日）のタイムスケジュール 7:00 起床：軽くストレッチして朝のニュースをチェック。ブラックコーヒーで目を覚ます。 7:30 朝ラン：近所の公園を30分ほどランニング。頭をリセットして新しいアイデアを考える時間。 8:30 朝食＆SNSチェック：トーストやヨーグルトを食べながら、TwitterやInstagramでトレンドを確認。 9:30 ブログ執筆スタート：カフェに移動してノートPCで記事を書いたり、リサーチを進める。 12:30 昼食：お気に入りのカフェや定食屋でランチ。食事をしながら読書やネタ探し。 14:00 取材・撮影・リサーチ：街歩きをしながら写真を撮ったり、新しいお店を開拓してネタにする。 16:00 執筆＆編集作業：帰宅して集中モードで記事を仕上げ、SEOチェックやアイキャッチ作成も行う。 19:00 夕食：自炊か外食。たまに友人と飲みに行って情報交換。 21:00 ブログのアクセス解析・改善点チェック：Googleアナリティクスやサーチコンソールを見て数字を分析。 22:00 映画鑑賞や趣味の時間：Amazonプライムで映画やドラマを楽しむ。 24:00 就寝：明日のアイデアをメモしてから眠りにつく。

この記事では「可測空間・とは？」について初心者にも理解しやすい言葉で解説します。

可測空間は何か

可測空間は、2つの要素から成ります。第一の要素は「Ω（オメガ）」と呼ばれる“サンプル空間”、つまり起こり得るすべての結果の集合です。第二の要素は「F」と呼ばれるσ-代数と呼ばれる特定の部分集合の集まりです。Fは「イベントの集合」として扱われ、空集合や全体集合Ωを含み、補集合や可算個の和集合をとっても常にFの中に入る性質を持っています。

サンプル空間と事象

「イベント」は、起こるかどうかを判定したい事柄の集合のことです。たとえばコインを1回投げるとき、Ωは{表, 裏}のようにとても小さくてもOKです。ここで「表が出る」という事象は{表}、または「表か裏か」を含むより大きな集合で表されることになります。

σ-代数の例

現実の例として、実数全体の集合Ω^Rに対して「ボレルσ-代数」という特別な集合系を考えることがあります。これを覚えるのは少し難しいですが、要点は「任意の個別の出来事だけでなく、複数の出来事の組み合わせをとっても、必ずFに入る」という性質です。

測度と可測性

次に「測度」という道具を使います。測度はFに入る各イベントに対して「大きさ」を割り当てる関数です。例えば、Ωが有限集合の場合、各基本事象の確率を足し合わせてイベントの確率を決めることができます。もし測度が全体Ωに対して1を与えると、それは「確率測度」と呼ばれ、可測空間上の事象に確率を割り当てることになります。

具体的な例

例1：Ω = {表, 裏} で F = {∅, {表}, {裏}, {表, 裏}} を取り、各事象に対してPを定義すれば、P({表}) = 0.5, P({裏}) = 0.5 のような確率を考えられます。例えば「表が出る確率」はP({表})で表されます。例2：Ωが3つの結果 {A, B, C} のとき、Fをすべての部分集合とすると可測空間になります。

実生活でのイメージ

可測空間は「何を起こるとみなすか」を決める地図のようなものです。サンプル空間Ωは“すべての可能性”、Fは“起こるかもしれない出来事の集まり”、測度は“それぞれの出来事の占める大きさ（確率）”を示します。

表で見る可測空間

able>項目説明Ωすべての結果の集合F可算個のイベントを集めた集合系μ測度。イベントに対する“大きさ”例Ω={表, 裏}、F={{}, {表}, {裏}, {表, 裏}}、μ({表})=0.5, μ({裏})=0.5ble>

まとめ

要するに「可測空間」とは、サンプル空間Ωと、それに対応するイベントの集合F、そしてそれらに対して大きさを決める測度μをセットにしたものです。これを使うと、さまざまな確率の計算や理論を、整然と整理して考えることができます。難しく感じるかもしれませんが、基本は「起こり得る結果の集合を決め、それに大きさをつける」というシンプルな考え方です。

可測空間の同意語

測度空間: Xとその上のσ-代数F、場合により測度μを含む三つ組としての構造。可測空間の概念を指す一般的な表現で、実務ではこの語で同義に扱われることが多い。注意点として、厳密には測度空間はμを含む三つ組を指すことが多い。
σ-代数空間: X上のσ-代数Fを備えた空間。可測空間と同じく“Xに対する可測集合の族”を定義する構造として使われる語。文脈により可測空間の別名として用いられることもある。
可測系: σ-代数Fそのものを指す略語的表現。可測集合の族を意味し、可測空間の要素として用いられることが多い。
可測集合族: X上の可測集合の集合族を指す語。可測空間を構成する可測集合の集まりを表す表現として用いられる。

可測空間の対義語・反対語

非可測空間: 可測空間ではないこと。すなわち、集合 X に対して σ-代数が定義されていない、あるいは可測空間の要件を満たさない空間。
不可測空間: 非可測空間とほぼ同義の表現。可測性を持たない空間という意味。
非可測集合: ある集合が、与えられた測度・σ-代数の下で可測ではないこと。例えば実数全体に対する標準のルベーグ測度で非可測となる集合が存在する。
不可測集合: 非可測集合と同義の表現。特定の測度下で可測性を持たない集合。
可測性の欠如: 対象が可測であるという性質を欠くこと。可測性が成立しない状態を指す表現。

可測空間の共起語

シグマ代数: 集合 X 上の、空集合と X を含み、補集合と可算個の集合の和を閉じる集合族。
σ-代数: シグマ代数と同義の表記。
集合代数: X 上の集合族で、空集合と X を含み、補集合と有限個の和を閉じる集合族。
可測集合: 可測空間 (X, F) の F に属する集合。
可測空間: X と F の組。F は X 上の可測集合の集合。
測度: F 上の非負の関数 μ: F → [0, ∞] で、空集合の測度は 0、可算和の性質を満たす。
測度空間: X, F, μ の三つ組。μ は F 上の測度。
確率空間: μ(X)=1 の測度 μ を用い、標本空間 X 上の確率を定義。
確率測度: 確率空間で用いられる測度。全体の測度が 1。
可測関数: X から実数値または拡張実数値への関数で、全てのしきい値の逆像が可測集合になるとき可測。
逆像: 関数 f と集合 A に対し、f^{-1}(A) が可測となる性質。
ボレル集合: 位相空間において開集合から生成される最小の σ-代数。
Borel集合: ボレル集合と同義の表記。
拡張実数値: +∞ / -∞ を値として取る実数値。可測関数の値域で使われる。
Lebesgue測度: 実数直線・ユークリッド空間における標準的な測度。
積測度: 二つの測度空間の積空間上の測度。Product measure の別称。
積空間: X×Y の集合と、F×G のような積 σ-代数。
σ有限: 測度が σ-有限である、すなわち X を可算個の集合に分け、それぞれの測度が有限で覆う性質。
ヌル集合: 測度が 0 の集合。
補集合: 集合 A の補集合 A^c は X ackslash A。σ-代数は補集合を閉じている。
空集合: ∅。測度は 0。
全体集合: X。測度空間の基礎集合。
基礎集合: 集合 X の元となる実際の集合。
標本空間: 確率論での結果の集合。
集合族: X 上の部分集合の集まり、可測空間の構成元となる。

可測空間の関連用語

可測空間: X と X 上の σ-代数 F の組 (X, F)。集合 X の部分集合のうち、測度を定義できる集合族で、測度論・確率論の基本的な舞台となる。
集合: 数学の基本的な対象で、要素の集まり。可測空間の元になるものとして扱われることが多い。
σ-代数（シグマ代数）: X の部分集合の集合族で、空集合と X を含み、補集合と可搬な可算和に対して閉じている集合系のこと。測度を定義する際の前提となる。
可測集合: σ-代数 F に属する X の部分集合。測度を定義できる対象となる。
標本空間（サンプル空間）: 確率論での実験の全ての結果の集合 Ω。試行の結果が取り得る全体像を表す。
ボレル集合: 実数直線 R 上の開集合から生成される σ-代数に含まれる集合の集合。実分析で最も基本的な可測集合の一つ。
ボレル σ-代数: ボレル集合を構成する σ-代数。R^n の標準的な可測集合系として用いられる。
実数直線（R）/ 実数空間: 分析で頻繁に現れる集合。ボレル集合の対象として用いられることが多い。
ルベーグ測度: 実数直線や多次元空間の Lebesgue 測度。可測集合に対して長さ・体積に相当する値を割り当てる測度。
測度: 集合へ非負の値を割り当てる関数 μ: 2^X → [0, ∞]。μ(∅)=0、可算加法性を満たす。
測度空間: X, F, μ の三つ組。可測空間に測度 μ を組み合わせたもの。
確率空間: Ω, F, P の三つ組。P は確率測度で、Ω は標本空間、F は事象の集合を表す σ-代数。
確率変数（可測変数）: 確率空間から実数値へなる写像 X: Ω → R が、実数のボレル σ-代数に対して可測であること。
可測関数: f: X → Y が、Y の σ-代数 G に対して全ての A ∈ G の逆像 f^{-1}(A) が X の σ-代数 F に入るとき可測である。
可測写像: 2つの可測空間の間の写像。Y の可測集合の逆像が X の σ-代数に入るとき可測と呼ぶ。
生成 σ-代数: 集合族 C ⊆ P(X) から作られる最小の σ-代数 σ(C)。生成元の集合が分かると扱いが楽になる。
ほとんどすべて（almost surely）: 事象がほとんどすべての試行で成り立つこと。確率論で頻繁に用いられる概念。
累積分布関数（CDF）: 確率変数 X の分布を F_X(x) = P(X ≤ x) で表す関数。右連続・非減少。
確率分布: 確率変数の振る舞いを決める分布。離散分布・連続分布などがある。
確率密度関数（PDF）: 連続分布の場合、非負の関数 f が ∫ f = 1 を満たすときの分布密度。CDF はこの関数を積分して得られる。
開集合: 点の周りに十分小さな開球を含むような集合。ボレル集合の生成元となることが多い。
閉集合: 補集合が開集合である集合。ボレル集合には閉集合が含まれることが多い。