シンプレックス法とは？初心者にもわかる解説と使い方ガイド共起語・同意語・対義語も併せて解説！

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岡田康介

名前：岡田康介（おかだこうすけ）ニックネーム：コウ、または「こうちゃん」年齢：28歳性別：男性職業：ブロガー（SEOやライフスタイル系を中心に活動）居住地：東京都（都心のワンルームマンション）出身地：千葉県船橋市身長：175cm 血液型：O型誕生日：1997年4月3日趣味：カフェ巡り、写真撮影、ランニング、読書（自己啓発やエッセイ）、映画鑑賞、ガジェット収集性格：ポジティブでフランク、人見知りはしないタイプ。好奇心旺盛で新しいものにすぐ飛びつく性格。計画性がある一方で、思いついたらすぐ行動するフットワークの軽さもある。 1日（平日）のタイムスケジュール 7:00 起床：軽くストレッチして朝のニュースをチェック。ブラックコーヒーで目を覚ます。 7:30 朝ラン：近所の公園を30分ほどランニング。頭をリセットして新しいアイデアを考える時間。 8:30 朝食＆SNSチェック：トーストやヨーグルトを食べながら、TwitterやInstagramでトレンドを確認。 9:30 ブログ執筆スタート：カフェに移動してノートPCで記事を書いたり、リサーチを進める。 12:30 昼食：お気に入りのカフェや定食屋でランチ。食事をしながら読書やネタ探し。 14:00 取材・撮影・リサーチ：街歩きをしながら写真を撮ったり、新しいお店を開拓してネタにする。 16:00 執筆＆編集作業：帰宅して集中モードで記事を仕上げ、SEOチェックやアイキャッチ作成も行う。 19:00 夕食：自炊か外食。たまに友人と飲みに行って情報交換。 21:00 ブログのアクセス解析・改善点チェック：Googleアナリティクスやサーチコンソールを見て数字を分析。 22:00 映画鑑賞や趣味の時間：Amazonプライムで映画やドラマを楽しむ。 24:00 就寝：明日のアイデアをメモしてから眠りにつく。

シンプレックス法とは？

シンプレックス法は、線形計画法と呼ばれる「線形な目的関数を、制約条件で定められた解の中から最適化する方法」です。とくに現実の問題では、資源の配分や生産計画、交通の最適化など、さまざまな場面で用いられます。シンプレックス法の特徴は、解の候補として「頂点（境界の交点）」を順番に調べ、目的関数の値を改善し続ける方向に解を動かしていく点です。頂点は制約条件の不等式を等式に置き換え、追加した slack 変数とともに表現されることが多く、最終的には最適解が頂点のいずれかにあるという性質を利用します。

この解法は、問題を標準形に整え、基底と呼ばれる変数の組み合わせを順に変えていくことで新しい解を作り出す、反復的なアルゴリズムです。基本的な考え方は「今の解を基底として、他の変数を少しずつ増減させて、目的関数の値をより良くする方向を探す」というものです。最適性の基準としては、現在の解に対して目的関数をさらに改善できる変数があるかどうかを調べ、見つからなければ解は最適だと判断します。

標準形のLPを実際に扱うには、いくつかの準備があります。まず問題を 標準形 に変換します。最大化問題なら z = c^T x を最大化する形にし、制約条件はすべて等式とし、未知数 x は非負とします。次に「基底」を決めます。基底とは、現在の解で値を持つ変数の集合のことで、他の変数は 0 に設定されます。初期の基底は通常、スラック変数を使って設定します。これがシンプレックス法の出発点です。

標準形と基底解

標準形に変換すると、以下のような形になることが多いです。変数には x1, x2, …, xn、スラック変数 s1, s2, …, sm を追加して、制約式を等式にします。目的関数は最大化の場合、係数が正の変数を増やすと z が増えるため、これを手掛かりに次の動きを決めます。

ポイント: 基底は、現在非零となっている変数の集合です。; 初期の基底はスラック変数を使って設定されることが多いです。

アルゴリズムの流れ

ステップ1: 問題を標準形に変換して、初期の基底を決定します。非基底変数のうち、解を改善する可能性がある変数を探します。
ステップ2: 「 entering 変数」を決定します。これは目的関数の改善をもたらす候補で、通常は z の係数が正の変数です。
ステップ3: 「 leaving 変数」を決定します。 ratio test と呼ばれる方法で、基底のうちどの変数を代えても解が不正にならない範囲を見つけます。
ステップ4: ピボット操作を行い、基底を更新します。これにより新しい解が得られます。
ステップ5: すべての entering 変数が不適となる、すなわち 追加の改善余地がなくなるまで、ステップ2〜4を繰り返します。このとき最適解が得られます。

実際の例とピボットの考え方

以下は、最も基本的な 2 変数の線形計画問題の簡易例です。目的関数は最大化、制約は 2 つの不等式、変数は非負とします。例を通して、初期の表と最初のピボットの考え方を見ていきましょう。

例題：最大化 z = 3x1 + 2x2
制約条件：
2x1 + x2 ≤ 4
x1 + x2 ≤ 2
x1 ≥ 0, x2 ≥ 0

この問題を標準形に変換し、スラック変数 s1, s2 を導入すると次のようになります。

able> x1 x2 s1 s2 RHS 2 1 1 0 4 1 1 0 1 2 -3 -2 0 0 0 ble>

この初期表では、 entering 変数として x1 または x2 が候補です。ここでは x1 が最も大きな係数を持つので x1 が entering 変数となります。 ratio test で leaving 変数を決定すると、 Row1 の RHS が 4、係数は 2 なので 4/2 = 2、Row2 は係数が -1 で割り切れないため考慮外となり、結局 Row1 から基底を置換します。ピボット後の新しい表を作成すると、解は新しい基底により更新され、次のステップへ進みます。これを繰り返すと、最終的に最適解が得られます。実務では、この操作をコンピュータが高速に行いますが、基本的な考え方を知っておくと、アルゴリズムの挙動が理解しやすくなります。

なお、シンプレックス法はすべての線形計画問題に対して唯一の解を保証するわけではなく、複雑な問題では複数の基底が等価な解を与えることもあります。しかし、多くの現実的なケースでは収束が速く、最適解を見つけやすい点が特徴です。

要点を繰り返します。標準形への変換、初期基底の設定、ピボット操作、比例判定、そして最適性の判定という順序を守ることで、シンプレックス法は高度な最適化問題を分解して解くことができます。初学者は、まず身近な例を手計算で追い、次に表計算ソフトやプログラムで実装していくと理解が深まります。

まとめ

シンプレックス法は、線形関係の最適化問題を、頂点を順番に辿る形で解く強力なアルゴリズムです。標準形への変換、基底の選択と更新、ピボット操作、最適性の判定という基本ステップを押さえれば、初心者でも概念をつかむことができます。実際の応用では、表計算ソフトや専用の最適化ライブラリを使って、複雑な問題にも対応します。

シンプレックス法の同意語

シンプレックス法: 線形計画問題を解く代表的なアルゴリズムの一つ。目的関数を改善しながら、実行可能領域の頂点（基底解）を順次移動して最適解を見つけ出します。
単体法: シンプレックス法の日本語名称。基底と呼ばれる頂点解を変えつつ、解の候補を辺に沿って進み、目的関数を最大化または最小化します。
シンプレックスアルゴリズム: シンプレックス法の英語表記をそのまま日本語風に表記した呼び方。基本的な考え方・手順は同じです。
頂点解法: 解空間の頂点（頂点解）を順次探索して最適解を求める考え方に基づく別称。シンプレックス法の動作原理を指す表現として使われることがあります。

シンプレックス法の対義語・反対語

内点法: シンプレックス法の対極として挙げられる、解空間の内部を移動して最適解を探す代表的なアルゴリズム。頂点だけを辿らず、大規模な線形計画問題や凸最適化でよく使われます。
非線形最適化: 目的関数や制約条件が非線形である最適化。シンプレックス法は線形問題向けなので、非線形には別の手法が使われます。
整数計画法: 変数が整数に制約された最適化問題。線形計画法と異なる性質を持ち、シンプレックス法だけでは解けません。
勾配法: 目的関数の勾配（傾き）を使って解を少しずつ改善していく手法。連続空間の滑らかな関数に適用され、頂点探索とは異なるアプローチです。
局所探索法: 現在の解の近傍だけを探索して改善を試みる方法。全体の最適解を必ずしも保証しませんが、実装が比較的簡単です。
全域最適化: 解空間全体を探索してグローバルな最適解を目指す手法。計算コストが高くなることが多いですが、真の最適解を狙えます。
ヒューリスティック法: 厳密な最適解を保証しない近似・経験則ベースの解法。実務では速く良い解を得られることが多いです。
離散最適化: 解が離散的な値を取る問題を扱う分野。連続最適化（例: シンプレックス法）とは異なる考え方・手法を用いることが多いです。

シンプレックス法の共起語

線形計画法: 目的関数と制約条件がすべて線形で表される最適化問題の総称。シンプレックス法はこの問題を解く代表的なアルゴリズムです。
目的関数: 最大化または最小化の対象となる線形の式。
制約条件: 変数が満たさなければならない条件。等式または不等式で表す。
不等式制約: 変数の取り得る範囲を制限する制約の一種（≤、≥で表されることが多い）。
等式制約: 等しい関係を表す制約。
標準形: すべての制約を等式にし、全変数を非負に変換した標準的な形。
スラック変数: 不等式制約を等式に直すために追加する補助変数（≤のとき使用）。
人工変数: 等式制約を満たすために導入する人工の変数。Phase Iで可行解を探す際に使われる。
フェーズI: 可行解の探索を目的とする解法の第一段階。
フェーズII: 元の最適化問題の解を求める第二段階。
単体表/テーブル: ピボット操作の結果を表形式で整理した表。
ピボット操作: 入る変数と出る変数を選んで基底を更新する操作。
入る変数: 基底に新しく加わることで目的関数の改善を狙う変数（しばしば還元費用が条件を満たす場合）。
出る変数: ピボットで基底から外れる変数。
基底: 現在の解を決定づける基底変数の集合。
基底解: 基底変数を非基底変数ゼロとして得られる解。
非基底変数: 現在は0として解に含まれる変数群。
基底行列: A の基底列だけで作られる行列。逆行列を用いて新しい解を計算する。
逆行列: 基底行列が正則な場合に、その逆行列を使って基底解を算出する。
行列A: 制約条件の係数を並べた係数行列。
右辺ベクトルb: 制約の右辺の定数項を並べたベクトル。
目的係数ベクトルc: 目的関数の各変数の係数を並べたベクトル。
還元費用/還元値: ある変数を基に導入する際の目的関数の変化量を示す指標。
最適性条件: すべての還元費用が非正（最大化問題の場合）または非負（最小化問題の場合）になれば現在の基底が最適。
デュアル問題: 原問題と対になる別の最適化問題。資源の値を別の形で表す。
シャドウ価格: 最適解時に各制約の右辺を1単位だけ変えたときの目的関数の変化率。
デジェネシー/退化: 基底退化によりピボットしても目的値が変わらない現象。
感度分析: 最適解がパラメータの変更に対してどの程度安定かを分析すること。
最適基底: 最適解を生み出す基底の集合。
Big-M法: 人工変数に大きなペナルティを与えて1つの手順で Phase I と Phase II を扱う方法。

シンプレックス法の関連用語

シンプレックス法: 線形計画問題を解く代表的なアルゴリズムで、現在の基底を維持しつつ入る変数と出る変数を決定して基底を更新し、目的関数を改善していく手法です。
単体法: シンプレックス法の別名。基底解を順次更新して最適解へと進むアルゴリズムの総称。
線形計画法: 制約条件と目的関数がすべて一次式で表される最適化問題の総称です。
線形計画問題: 最大化または最小化の目的関数と、線形の等式・不等式の制約から成る最適化問題のこと。
標準形: 制約を等式と非負制約に統一し、解法の前処理として用いられる形。スラック変数や余剰変数を導入して表現します。
目的関数: 最適化の対象となる量を表す式で、最大化か最小化かを設定します。
制約条件: 変数に課される条件。等式または不等式として表され、解の取りうる範囲を決めます。
等式制約: すべての制約を等式として表現する形。
不等式制約: 「≤」や「≥」で表される制約。
スラック変数: 不等式制約を等式に変換する際に追加する新しい変数のこと。例: x + s = b。
余剰変数: 「≥」の不等式を等式にする際に導入する、正の値を取る変数。
基底: 現在の解を構成する基底変数のセット。
基底変数: 基底として選ばれている変数。非基底変数は0として解が決まります。
非基底変数: 基底に含まれていない変数。0の値をとり、基底を更新する際に入る候補となります。
ピボット操作: 入る変数と出る変数を決定して基底を更新する手続き。
ピボット要素: 入る変数と出る変数を結ぶ、更新の中心となる係数のこと。
ピボット列: 入る変数に対応する列。最適性・収束の判断に用いられます。
改善量（改善値）: 入る変数を選ぶ際、目的関数を実際に改善できる程度を示す指標（通常は減少量または増加量として表現されます）。
最適性条件: すべての改善量が非負（またはすべて非正）であるとき、現在の基底が最適解となる条件。
実行可能解: すべての制約を満たす解のこと。
実行可能領域: 制約を満たすすべての解の集合。
基底解: 基底変数のみが非零、他の非基底変数は0となる解。
最適解: 目的関数をこれ以上改善できない解。
初期基底: アルゴリズム開始時に設定する基底。
人工基底: 二段階法で初期の実行可能解を得るために用いる仮想的な基底。
二段階法: Phase I で人工基底を使って実行可能解を探し、Phase II で本来の問題を解く手法。
対像問題: 元の問題の双対として定義される、別の最適化問題（Dual Problem）。
双対シンプレックス法: 双対問題を解く際にシンプレックス法を適用する手法。
デュアル変数: 双対問題での変数。制約の価格的役割を持つことが多い。
感応分析: 係数の微小な変化が最適解・目的関数に与える影響を分析する分析領域。