

岡田 康介
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固有方程式とは何か
固有方程式という言葉は数学の中でも特に線形代数の分野でよく耳にします。固有方程式は与えられた正方行列が生み出す特別な値を求めるための式です。ここでいう特別な値とは 固有値 と呼ばれる数のことです。固有値は行列がどの方向にどれだけ伸びるかを示す指標であり、実世界のさまざまな現象を理解する手がかりになります。
直感だけでなく具体的な定義も覚えておくと役に立ちます。ある正方行列 A に対して、固有方程式は次の形をとります。 det(A − λI) = 0 ここで λ はスカラーと呼ばれる数であり、I は単位行列です。この式を解くと λ の値が得られます。この λ の値を 固有値と呼ぶのです。次に、それぞれの固有値に対応する固有ベクトルと呼ばれる方向ベクトルを見つけることもできます。
定義の直感
行列は図形の変換のような働きを持ちます。変換を思い浮かべてください。ある方向に伸びや縮みが生じるとき、その方向と伸び方を表すのが固有値と固有ベクトルです。たとえばある変換が特定の方向だけを変えずに伸びたり縮んだりするとします。そのときその方向が固有ベクトルとなり、伸び具合が固有値として現れます。
固有方程式を解く基本的な手順
固有方程式を解くには次の基本的な流れを使います。手順はとてもシンプルです。まず行列 A を用意します。次に λI を引き算して行列 A − λI を作ります。最後に 行列式 det(A − λI を計算して得られる多項式を 0 に等しくします。これが固有方程式です。
具体的には以下のような式になります。 det(A − λI) = 0。この式を展開して得られる多項式を解くと λ の候補が出てきます。次に各 λ に対して方程式 (A − λI)v = 0 を解くと固有ベクトル v が得られます。
実例を見てみよう
シンプルな 2x2 行列を例にとります。 行列 A を次のように置きます。
例の行列 A
この行列に対して固有方程式 det(A − λI) を作ると次のようになります。 det(A − λI) = (2 − λ)(3 − λ) となり、これを 0 にすると多項式は λ^2 − 5λ + 6 = 0 となります。因数分解すると (λ − 2)(λ − 3) = 0 で、固有値は λ = 2 と λ = 3 です。
それぞれの固有値に対応する固有ベクトルを求めます。λ = 2 のとき A − 2I = [[0, 1], [0, 1]] となり、方程式 (A − 2I)v = 0 を解くと v は形 v = [1, 0]^T となります。λ = 3 のとき A − 3I = [[−1, 1], [0, 0]] となり、-x1 + x2 = 0 より x2 = x1 です。よって固有ベクトルは v = [1, 1]^T です。以上のように固有方程式を解くことで固有値と固有ベクトルを得ることができます。
固有値の性質と注意点
実数の行列であっても固有値は必ずしも実数になるとは限りません。複素数になる場合もあります。特に 2×2 より大きい行列では重複した固有値が現れることもあり得ます。重複していても対応する固有ベクトルが十分に存在しない場合もあり、対角化が難しくなることがあります。こうした点は線形代数の中でも重要な性質です。
実世界への応用例
固有方程式は振動現象の解析や安定性の評価、データ解析の主成分分析などさまざまな場面で使われます。工学の設計や物理の現象のモデリング、機械学習の前処理といった分野で役立つ概念です。
よくある誤解と補足
固有方程式は必ず実数解を持つわけではない点を理解しましょう。複素数が解になる場合もあり得ます。また固有値だけを見るときと固有ベクトルも同時に考えるときとで意味が変わることがあります。目的に応じて固有値と固有ベクトルの組をきちんと取り扱うことが大切です。
まとめと復習のポイント
固有方程式 det(A − λI) = 0 を解くことによって固有値を得るのが基本です。得られた固有値に対して (A − λI)v = 0 を解くと対応する固有ベクトルが得られます。これらは行列がどの方向にどう伸びるかを示す重要な指標であり、線形代数の土台となる考え方です。初心者でも焦らず順序良く手を動かせば理解が深まります。
固有方程式の同意語
- 特性方程式
- 行列 A に対して det(A - λI) = 0 となる方程式。固有値 λ を求める根となる条件を表す式。
- 固有値方程式
- 固有値 λ を決定するための方程式。一般には det(A - λI) = 0 の形をとる。
- 特性値方程式
- 固有値 λ を求めるための方程式。‘特性値’は eigenvalue の訳語で、同じ意味を持つ。
- 固有値の方程式
- 固有値 λ を得るための方程式。解として得られる λ が行列の固有値となる。
固有方程式の対義語・反対語
- 非固有方程式
- 固有方程式が固有値を求める性質を持つのに対し、固有性を持たない・固有値を特定して求めることを目的としない方程式を指す、概念的な対義表現。
- 一般方程式
- 特定の固有値問題に限定されない、広く使われる普通の方程式という意味での対義表現。
- 普通方程式
- 特別な固有性を前提とせず、日常的・標準的な方程式というニュアンスの対義語。
- 外在的方程式
- 固有性(内在的・内在性)を強調するのではなく、外部要素に依存する・内在性の少ない方程式という直感的な対義語。
- 固有性を欠く方程式
- 固有性を持たないことを直接示す表現で、対義語として機能する説明的な名称。
- 非固有値を扱う方程式
- 固有値を求めることを目的とする『固有方程式』の対比として、非固有値を対象とするような方程式という意味合いの表現。
固有方程式の共起語
- 固有値
- 行列に対して Av = λv を満たすスカラー λ。固有方程式 det(A - λI) = 0 の解として得られる値です。
- 固有ベクトル
- 対応する非零ベクトル v で、 Av = λv を満たすもの。固有値に対応する方向を表します。
- 行列
- 正方行列で、線形変換を表現します。固有方程式はこの行列に対して定義されます。
- 行列式
- 行列のスカラー値。det(A) のように計算され、固有方程式 det(A - λI) の解を決定します。
- λ
- 固有値を表す記号。実数または複素数になることがあります。
- 特徴多項式
- det(A - λI) を λ について展開して得られる多項式。根が固有値になります。
- 特性多項式
- 特徴多項式の別称。同じ意味で用いられることが多いです。
- 特性方程式
- det(A - λI) = 0 という方程式。これを解くと固有値が得られます。
- 対角化
- 固有値と固有ベクトルを用いて行列を対角行列に変換する操作。
- ジョルダン標準形
- 行列をジョルダン形に変換する概念。固有値を含むブロック構造で表されます。
- 線形代数
- 固有方程式はこの分野の中心的なテーマです。
- 実数
- 実数行列では実数の固有値を持つことがあります。
- 複素数
- real 行列は複素数の固有値を持つことがあり、複素共役ペアになることがあります。
- 固有空間
- (A - λI)x = 0 の解空間。各固有値に対応する空間です。
- 次数/次元
- 固有方程式の次数は行列のサイズ n に等しく、固有値の個数にも影響します。
- 最小多項式
- A が満たす最小次数の多項式。固有値を含み、A の性質を決定づけます。
- 代数的重複度
- ある固有値 λ が特徴多項式で現れる回数(重複度)。
- 幾何的重複度
- 各固有値に対応する固有空間の次元。代数的重複度と関係します。
- 数値解法
- 大きな行列の固有値を数値的に求める方法。誤差が生じることがあります。
- QR法
- 代表的な数値解法の一つ。反復的に固有値を計算します。
- 正規行列
- 正規条件を満たす行列では固有ベクトルが正規直交基底になる性質があります。
- 対称行列
- 実対称行列は固有値が実数で、固有ベクトルが正規直交になることが多いです。
- 係数
- 特徴多項式の係数は行列のトレースやデターミネントなどの性質と関係します。
- λI
- λ倍の単位行列。A - λI の形の中核要素です。
固有方程式の関連用語
- 固有値
- 線形変換がもつ特徴的なスカラー量。非零ベクトル v を Av = λv が満たすときの λ のこと。
- 固有ベクトル
- 対応する固有値 λ に対して Av = λv を満たす非零ベクトル v のこと。
- 固有方程式
- 固有値を決定する方程式のこと。一般には det(A - λI) = 0 の形で現れる。
- 特性方程式
- 行列 A の固有値を求める方程式。通常 det(A - λI) = 0 の形で表される。
- 特性多項式
- 上記と重複するため省略しても可。
- 特性根
- 固有値の別名。特性根とも呼ばれることがある。