多項定理とは？中学生にもわかる基礎と使い方ガイド共起語・同意語・対義語も併せて解説！

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多項定理とは？

多項定理とは数式の一つのルールで、三つ以上の項を含む和を n 回掛け合わせたときの展開を、係数付きの形で表す公式です。二項定理の考え方を土台に、項が増えても同じ考え方で係数を決めていきます。難しそうに感じるかもしれませんが、基本は「どの項がいくつ現れるかを数えること」と「現れ方の組み合わせに対応する係数を決めること」です。

この公式を使えば、x1+x2+...+xk の n をべき乗したときの展開を、ひとつずつ手計算する必要がなく、どの項が何回現れるのかを数学的に知ることができます。係数は 階乗の比 で決まります。具体的には、ここでの係数は n! / n1! n2! ... nk! となり、各項の指数が n1, n2, ..., nk の組み合わせで決まります。

基礎の例を解く

まずは二項定理の復習です。二項定理は (a+b)^n を展開する公式で、係数は nC0 から nCn までの組み合わせ数として現れます。多項定理はこの発想を x1, x2, x3,... に拡張したものです。三つ以上の項を使う場合でも、同じ原理で各項の現れ方を数え、係数を決めます。

三つの項の例

具体例として三つの項 x, y, z を使い (x+y+z)^3 を展開してみましょう。指数の組み合わせは (3,0,0)、(0,3,0)、(0,0,3)、(2,1,0)、(2,0,1)、(1,2,0)、(1,0,2)、(0,2,1)、(0,1,2)、(1,1,1) などです。係数はそれぞれ 1, 1, 1, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 6 となります。最終的な展開は以下のようになります。

x^3 + y^3 + z^3 + 3x^2 y + 3x^2 z + 3y^2 x + 3y^2 z + 3z^2 x + 3z^2 y + 6xyz

able>項の組み合わせ展開後の形係数x^3x^31y^3y^31z^3z^31x^2 yx^2 y3x^2 zx^2 z3y^2 xy^2 x3y^2 zy^2 z3z^2 xz^2 x3z^2 yz^2 y3xyzxyz6ble>

この例から分かるように、係数は現れる順序だけでなく、指数の組み合わせの「並び方の数」でも決まります。n! は全ての並ぶ順序を数え、各項の指数ごとに n1! n2! ... nk! で割って調整します。これが多項定理の基本的な仕組みです。

一般形と応用例

一般形は次のように書かれます。 (x1+x2+...+xk)^n は、非負の整数 n1, n2, ..., nk が n1+n2+...+nk=n となるすべての組み合わせに対して、係数 n! / n1! n2! ... nk! を掛け、各項 x1^n1 x2^n2 ... xk^nk を並べます。

実生活では、確率の計算や組み合わせの問題、生成関数を扱うときにこの公式が役立ちます。例えば複数の独立した出来事が同時に起こる場合の可能性を数えるときや、多項式の展開を機械的に行いたいときに便利です。学習のコツは「係数の出し方を覚える」ことと、「現れる項がどのように決まるか」を感覚的に掴むことです。

まとめ

多項定理は二項定理の延長として、三つ以上の項を含む和の n 乗を展開する公式です。係数は n! を各項の指数の階乗の積で割ることで得られ、指数の組み合わせごとに展開されます。練習を重ねると、複雑な展開も自動的に形が見えるようになります。

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多項定理の同意語

多項定理

n 個の項の和を n 乗する展開を表す公式。x1 + x2 + ... + xk の形の和を n 回掛け合わせたときの全展開を、各項の係数 n!/(n1! n2! ... nk!) で表します。これが multinomial theorem の日本語名称です。

多項式定理

多項定理と同義で用いられることがある呼称。主に multinomial theorem の別名として使われ、複数の変数の和を n 乗として展開する公式を指します。

多項展開の定理

多項展開（x1 + x2 + ... + xk）の n 乗を展開する公式のことを指す表現。多項係数を用いた展開式の説明で使われます。

多項展開公式

同じ意味の表現。多項展開の公式として、(x1 + x2 + ... + xk)^n の展開式と係数を示す際に使われます。

多項式展開公式

多項定理の別名として用いられることがある表現。複数の項の和を n 回掛け合わせたときの展開式を示します。

二項定理

二項定理は (a + b)^n の展開公式で、これは多項定理の特別な場合（変数が2つのとき）として位置づけられます。

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多項定理の対義語・反対語

単項定理

多項定理の対義語として捉えられる、1つの項だけを扱う展開・定理の概念。実務上は多項式の展開（1つの項が主役になるケース）を比喩的に指す表現です。

一元定理

変数が1つだけの状況で成り立つ定理。多項定理が多変数の展開を扱うのに対し、こちらは1変数の性質・展開を指す概念として使われることがあります。

一変数定理

同様に1つの変数に限定した定理。名称のバリエーションとして用いられることがあり、1変数の展開や性質を強調します。

二項定理

2つの項からなる展開の公式。多項定理の特別ケースとして理解され、対比的に挙げられることが多いです。

少項定理

項数が少ない展開に関する仮想的な定理。多項定理と対比して、より簡素なケースをイメージさせる表現として用います。

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多項定理の共起語

多項定理

x1 + x2 + ... + xk を n 回掛け合わせたときの展開公式で、全ての項が x1^n1 x2^n2 ... xk^nk の形になり、係数は特定の組み合わせに対応します。

二項定理

x + y の n 乗を展開する公式。多項定理の特別ケースで、項が2つのみの場合に適用します。

多項係数

n! / (n1! n2! ... nk!) の形をした係数。展開される各項の前につく数で、どの組み合わせが現れたかを示します。

展開

和の形の多項式を x1, x2, ..., xk の積として広げる作業。すべての組み合わせから項が生まれます。

階乗

整数の積の連続的な積。係数の分子・分母に現れ、計算の基礎となります（例: n!）。

変数

x1, x2, ..., xk のような独立した記号。展開ではこれらの変数が用いられます。

次数

各項の総次数。展開全体の次数は n で、各項は n1 + n2 + ... + nk = n の形になります。

多項展開

複数の項の和を n 回掛け合わせて展開する操作全般を指します。

二項式

2つの項から成る多項式。二項定理の対象となる基本形です。

多項式

複数の項からなる式。多項定理はこの多項式の展開の公式を与えます。

係数

各項の前につく数。多項定理では主に多項係数がそれに当たります。

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多項定理の関連用語

多項定理

n 個の項の和を n 回掛け合わせたときの展開の一般公式。x1 + x2 + ... + xk の n 乗を、各 x_i の個数 n1,...,nk の組み合わせで展開すると、係数は multinomial coefficient n!/(n1! n2! ... nk!) で表される。

二項定理

2つの項の和の n 乗を展開する公式。x + y の n 乗は、r = 0 から n までの項の和で、係数は C(n,r) = n!/(r!(n-r)!)。

二項展開

二項定理により (x + y)^n を x と y のべき乗の和として並べ替えた展開のこと。

多項係数

n!/(n1! n2! ... nk!) のこと。多項定理の各項の係数として現れる組合せ数。

階乗

1 から n までの整数を掛け合わせた値。係数計算や多項係数の定義に使われる基本的な計算。

組み合わせ

n 個の中から順序を気にせず k 個選ぶ方法の数。二項定理の C(n,k) はこの組み合わせ数の一例。

多項分布

n 回の独立した試行で k 種類の結果が出る確率分布。確率の係数として多項係数が現れ、P(X1=n1,...,Xk=nk) = n!/(n1! ... nk!) ∏ p_i^{n_i}。

二項分布

n 回の独立試行で成功回数 X が従う確率分布。P(X=r) = C(n,r) p^r (1-p)^{n-r}。

ニュートンの二項定理

実数 n に対して (1 + x)^n を展開する一般化された二項定理。係数は C(n,r) = n(n-1)...(n-r+1)/r! の形で定義される。

一般化二項定理

多項定理の特別な場合を含む、x1 + x2 + ... + xk の n 乗を展開する総称。係数は multinomial coefficient を用いて表される。

生成関数

数列の係数や性質を関数として扱う道具。多項定理の導出や組合せの問題を解く際に用いられることがある。

指数法則

指数の計算規則。多項展開の指数計算を整理する際に使われる。

多項展開

複数の項の和の冪乗を展開する別称。多項定理とほぼ同義で用いられる。

確率・統計との関係

多項定理と多項分布は確率計算の基盤として使われる。

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多項定理のおすすめ参考サイト

• 多項定理とは？公式と使い方・順列を使った証明方法を解説

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