岡田 康介
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特異行列とは？
特異行列という言葉を初めて聞く人には少し堅苦しく感じるかもしれません。特異行列とは簡単に言うと「その行列を使って作る変換が、ある入力をうまく別の形に映せない」状態のことを指します。
行列は数を並べた箱で、線形代数という数学の道具として広く使われます。特異行列の最も大きな特徴は「行列式」という数を計算して0になることです。行列式が0になると、その行列は逆に元に戻すことができず、逆行列を持たない性質が生じます。直感的には、線形変換を行うとき空間の体積や広がりがゼロになる、つまり入力と出力の関係が「つぶれてしまう」状態を想像すると分かりやすいです。
別の見方として「列（または行）が互いに独立かどうか」という考え方があります。列が線形従属、つまりある列が他の列の組み合わせで表せてしまうと、その行列は特異になることが多いです。逆に、列が互いに独立であれば行列式は非ゼロとなり、非特異、つまり逆行列が存在します。
簡単な例で理解
次の説明では2×2の行列を使います。まず、行列Aが特異かどうかを判断する基本的な考え方を示します。
2×2 の例では、行列式 det(A) = a11*a22 - a12*a21 という式で計算します。もし det(A) = 0 なら特異、そうでなければ非特異です。
この表から分かるように、前者の列は2倍ずつ関係しており、列が線形従属となっています。その結果、行列式は0となり特異行列です。後者は2つの列が互いに独立しており、行列式は非ゼロとなって逆行列も存在します。
3×3の例と直感
3×3の行列で考えると、3つの列が線形独立かどうか、階数が3かどうかが鍵になります。例えば A = [[1,0,0],[0,1,0],[0,0,1]] は非特異で逆行列を持ちます。一方 A = [[1,2,3],[4,5,6],[7,8,9]] は行列式が0で特異です。これらの例は、規模が大きくなっても同じ原理が成立することを示しています。
判定のコツと実務的な活用
実務で「この行列が特異かどうか」を判断するには、次の二つのアプローチがよく使われます。一つ目は行列式を計算して0かどうかを見る方法。小さな行列なら直ちに計算できますが、行列が大きくなると計算量が増えます。二つ目は階数を使う方法です。行列を行基本変形（ガウス・ジョルダン法など）で簡約化すると、最終的に対角成分の積に対応する形になります。対角成分に0が現れる、あるいはゼロの行が出てくる場合、特異である可能性が高いです。
生活や学習への落とし込み
特異行列を日常のイメージで捉えると、入力情報が重複していたり、情報の自由度が失われてしまう状態と考えるとわかりやすいです。たとえば、2つのセンサーが同じ情報をほぼ同じ割合で出していると、全体としての判断力が弱くなり、解が一意に定まらないことがあります。
まとめと使い道
特異行列は線形代数の基礎的な概念です。方程式の解が一意に決まるかどうか、データ解析の逆問題が解けるかどうかなど、さまざまな場面で重要な指標になります。機械学習の理論の一部や、グラフ理論、物理のモデル化など、多くの分野で関係します。学ぶ際は、まず「行列式と列の独立性」という二つの視点を押さえ、実例を通して感覚をつかむと良いでしょう。
この記事の要点は次の三つです。1 行列式が0になると特異である可能性が高い、2 列が互いに独立かどうかで判断、3 行基本変形を使えば見分けがつきやすい、という点です。
特異行列の同意語
- 非正則行列
- 行列式が0で、逆行列を持たない行列。正則でないとされる状態を指します。
- 不可逆行列
- 逆行列を持たない行列。
- 退化行列
- 列ベクトルや行ベクトルが線形従属で、階数が不十分なため特異になる行列。
- 行列式が0の行列
- 行列式が0であることにより逆行列を持たない行列。
- 正則でない行列
- 正則でない、すなわち逆行列を持たない行列。
特異行列の対義語・反対語
- 正則行列
- 行列式が0でない行列のこと。逆行列が存在し、線形変換としては単射かつ全射になります。特異行列の対義語として最も一般的な用語です。
- 可逆行列
- 逆行列が存在する行列。正則行列とほぼ同義で使われ、特異行列の対義語としてよく用いられます。
- 非特異行列
- 特異でない（＝行列式が0でない）行列。逆行列が存在します。
- 行列式が0でない行列
- 行列の行列式が0でないことを意味し、可逆であることの直接的な表現です。
- 逆行列が存在する行列
- 自分の逆行列を持つ行列。特異行列の対義語です。
- 非退化行列
- 文脈によっては可逆性と同義に使われることがあり、非特異性を指す語として用いられる場合があります。
特異行列の共起語
- 行列
- 線形代数で扱われる基本の二次元データ構造。行と列から成り、特異行列もこの中の一つです。
- 行列式
- 正方行列に割り当てられるスカラー値。行列式が0だとその行列は特異になり、逆行列が存在しません。
- 逆行列
- 行列 A に対し、AB=BA=I を満たす別の行列 B のこと。特異行列には存在しません。
- 正則行列
- 行列式が0でない行列のこと。逆行列が必ず存在します。
- 特異行列
- 行列式が0で、逆行列が存在しない行列。線形結合の独立性が低く、変換が一部で情報を失います。
- 固有値
- 行列をそのまま掛けても方向は変えず、尺度だけを変える数値。特異行列では0が固有値になることがあります。
- 固有ベクトル
- 固有値に対応する、変換後も向きが変わらない非零ベクトル。
- ランク
- 行列の独立した行（または列）の最大数。特異行列は通常、サイズより小さいランクを持ちます。
- 階数
- ランクと同じ意味で用いられることが多い。特異行列だと階数は満たせる最大値より低くなります。
- 特異値
- 特異値分解で現れる非負の値。0を含む場合、対応する行列は特異とされます。
- 特異値分解
- 任意の行列 A を U Σ V^T の形に分解する一般的な手法。特異行列の性質を解析する際に重要です。
- 列空間
- 列ベクトルの線形結合で作られる部分空間。特異行列では列空間の次元が縮小することがあります。
- 行空間
- 行ベクトルの線形結合で作られる部分空間。特異性は行空間の次元にも影響します。
- 線形独立
- ベクトル同士が独立しており、一方を他方の線形結合で表せない性質。特異行列はこの性質が欠ける場合が多い（ランクが低い）。
- 条件数
- 行列の数値安定性を表す指標。特異値の比が大きいほど条件数が高く、特異性と関係します。
特異行列の関連用語
- 特異行列
- 正方行列のうち、行列式 det(A) が 0 となり、逆行列が存在しない行列のこと。Ax=0 の解として非自明解が存在するのが特徴です。
- 正則行列
- 行列式 det(A) が 0 でない正方行列のこと。逆行列 A^{-1} が必ず存在します。
- 非特異
- det(A) ≠ 0 のときの行列のこと。特異でない、つまり逆行列がとれる状態を指します。
- 逆行列
- 正方行列 A に対して、AA^{-1} = A^{-1}A = I を満たす行列。 det(A) ≠ 0 のときのみ存在します。
- 行列式
- 行列の性質をひとつの数で表す指標。 det(A) = 0 なら特異、0 でなければ正則です。
- ランク
- 行列の独立な行や列の最大数のこと。ランクが n 未満だと特異であり、方程式の解の自由度にも影響します。
- ヌル空間
- Ax=0 を満たす解全体の集合。特異行列では非自明解を含むことが多く、次元は nullity と呼ばれます。
- 列空間
- 行列の列ベクトルが張る部分空間。特異かどうかにかかわらず存在しますが、特異のときは全空間を張らないことが多いです。
- 行空間
- 行ベクトルが張る空間。転置を取ると列空間と対応します。
- 零固有値
- 特異であるとき、0 が固有値になること。これにより線形変換が非可逆になる原因となります。
- 零特異値
- 特異値分解における最小の特異値が 0 になる場合、その行列は特異です。
- Rank-Nullity 定理
- rank(A) と nullity(A) の和が列数 n に等しいことを示す定理。独立性と解の自由度を結びつけます。
- 随伴行列
- 行列 A の随伴行列 adj(A) は A × adj(A) = det(A) × I を満たす。逆行列を求める際にも役立ちます。
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