整数計画法とは？初心者にもわかる基本と使い方共起語・同意語・対義語も併せて解説！

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岡田康介

名前：岡田康介（おかだこうすけ）ニックネーム：コウ、または「こうちゃん」年齢：28歳性別：男性職業：ブロガー（SEOやライフスタイル系を中心に活動）居住地：東京都（都心のワンルームマンション）出身地：千葉県船橋市身長：175cm 血液型：O型誕生日：1997年4月3日趣味：カフェ巡り、写真撮影、ランニング、読書（自己啓発やエッセイ）、映画鑑賞、ガジェット収集性格：ポジティブでフランク、人見知りはしないタイプ。好奇心旺盛で新しいものにすぐ飛びつく性格。計画性がある一方で、思いついたらすぐ行動するフットワークの軽さもある。 1日（平日）のタイムスケジュール 7:00 起床：軽くストレッチして朝のニュースをチェック。ブラックコーヒーで目を覚ます。 7:30 朝ラン：近所の公園を30分ほどランニング。頭をリセットして新しいアイデアを考える時間。 8:30 朝食＆SNSチェック：トーストやヨーグルトを食べながら、TwitterやInstagramでトレンドを確認。 9:30 ブログ執筆スタート：カフェに移動してノートPCで記事を書いたり、リサーチを進める。 12:30 昼食：お気に入りのカフェや定食屋でランチ。食事をしながら読書やネタ探し。 14:00 取材・撮影・リサーチ：街歩きをしながら写真を撮ったり、新しいお店を開拓してネタにする。 16:00 執筆＆編集作業：帰宅して集中モードで記事を仕上げ、SEOチェックやアイキャッチ作成も行う。 19:00 夕食：自炊か外食。たまに友人と飲みに行って情報交換。 21:00 ブログのアクセス解析・改善点チェック：Googleアナリティクスやサーチコンソールを見て数字を分析。 22:00 映画鑑賞や趣味の時間：Amazonプライムで映画やドラマを楽しむ。 24:00 就寝：明日のアイデアをメモしてから眠りにつく。

整数計画法とは？

整数計画法は、ある目的を最大化したり最小化したりする最適化問題のうち、すべての変数の値を整数として扱う方法です。現実の場面では、数を分割して使うことができず、箱の中身をそのままいくつにするかが問題になります。整数計画法はこのような「整数しか取れない」問題を、数学的に整理して解くための考え方です。

たとえば、忙しい一日で荷物をいくつか持っていくとき、重さの制限を超えずに価値を最大化したいとします。ここでは各荷物を「もつか持たないか」のどちらかで決めます。これを x1, x2, ... として、各 x が 0 か 1 になるようにします。目的は総価値を最大に、制約は総重量を容量以下にすることです。

基本的な考え方

変数を整数に限定することで、解が現実的な選択肢だけになることが多くなります。0-1 整数計画法や 混合整数計画法 などの派生もあります。

簡単な例：ナップサック問題

以下のような小さな例を使って考え方を理解します。

able>項目アイテムAアイテムBアイテムC重さ324価値436選択xAxBxC容量5

この表をもとに、総重量が容量以下になるように xA, xB, xC の組み合わせを決め、総価値を最大化します。実際にはこの問題を解くには、ブランチとバウンドと呼ばれる探索手法や、切り取り平面といった技術を組み合わせたアルゴリズムを使います。これらは現在のコンピュータ科学で広く使われている手法です。

初心者が覚えておくべきポイントは三つです。第一に 整数計画法は現実の制約を厳密に表現できる点。第二に 解の品質と計算時間のバランスを考えることが大事。第三に ソルバーと呼ばれるツールの活用で実務的な問題にも適用できるという点です。

実生活のちょっとした場面でも、整数計画法の考え方は役に立ちます。たとえばイベントの席割り、配送スケジュールの最適化、学級の配置計画など、選択肢を整数で扱うことが自然な場面が多く存在します。

整数計画法の同意語

整数計画法: 変数を整数に限定して最適化する問題の総称。目的関数・制約が線形である場合を指すことが多いが、非線形の場合も含まれることがある。
整数線形計画法: 目的関数と制約式がすべて線形で、変数が整数に限定される最適化問題。解法として分枝限定法などが用いられる。
0-1整数計画法: 変数が0または1の値しか取らない特殊な整数計画法。選択や組み合わせを表現するのに適している。
離散最適化: 解が離散的な集合に限られる最適化問題の総称。整数計画法はこの分野に含まれることが多い。
整数最適化: 整数変数を用いた最適化全般を指す表現。IPとほぼ同義で使われることが多い。
整数計画問題: 整数変数を含む最適化問題で、最大化・最小化と制約条件を満たす解の中から最適解を求める問題のこと。
整数制約付き最適化: 変数に整数性の制約を課した最適化問題。IPと同義で使われることが多い。
ディスクリート最適化: 解が離散的な値（整数など）に限られる最適化の総称。離散構造を前提とする問題を扱う。
IP（整数計画法）: Integer Programming の略称。整数変数を制約として持つ最適化問題のこと。

整数計画法の対義語・反対語

連続最適化: 変数をすべて連続実数として扱う最適化問題。整数制約がないため、解は連続的な値をとります。
実数計画法: 実数値の変数で構成される計画・最適化問題。一般に整数制約を課さない場合に用いられる表現。
線形計画法: 目的関数と制約が線形で、変数が連続値をとる最適化問題。整数制約を課さない版としてよく用いられる。
実数変数最適化: 変数が実数値のみで表現される最適化問題の総称。
連続型最適化: 変数・解が連続的な範囲をとる最適化の総称で、整数解を要求しない場合を含む。
非整数最適化: 整数制約を課さず、実数解を許容する最適化問題のこと。対になる概念として使われることがある。
実数最適化: 変数に実数のみを用いる最適化の総称。

整数計画法の共起語

線形計画法: 目的関数と制約が線形で、変数が連続値をとる最適化問題。LPソルバーで高速に解けるのが特徴です。
混合整数線形計画法: 線形制約の中で一部または全ての変数に整数制約を課し、解を求める最適化問題。
整数計画法: すべての変数を整数に制限して解く最適化問題。
整数線形計画法: 変数が全て整数で、制約が線形のときの最適化問題。
二値整数計画法: 変数が0または1の値のみをとる整数計画法の特別ケース。
0-1整数計画法: 上記と同様で、0-1の制約を課した離散最適化。
整数変数: 最適化問題で値が整数になるように設定された変数のこと。
連続変数: 実数値をとる変数。整数でない場合もある。
目的関数: 最適化で最大化・最小化したい式（評価対象）。
制約条件: 解の空間を限定する等式・不等式の集合。
線形制約: 制約のうち式が線形で表される条件。
整数制約: 変数に整数値を取るよう課す制約。
線形緩和: 整数制約を外して変数を連続値として解く手法。
分枝限定法: 解の探索を分岐して木構造で絞り込む代表的なIP解法。
カット平面法: 解空間を狭める追加の線形制約（カット）を逐次追加して解く手法。
ラグランジュ緩和: 制約をペナルティ付きの目的関数として扱い、緩和問題を解く手法。
最適解: 目的関数を最大化・最小化して得られる最良の解。
近似解: 厳密解が難しい場合に得られる、近似的な解。
NP困難: 整数計画法を含む多くの問題が解くのが難しい計算量難易度を持つ。
ソルバー: 問題を解くソフトウェア。例: CPLEX、Gurobi、SCIP など。
多目的最適化: 複数の目的を同時に扱い、トレードオフを評価する枠組み。
整数計画問題: 整数計画法で扱われる具体的な最適化問題のこと。

整数計画法の関連用語

整数計画法: 意思決定変数をすべて整数に制約した最適化手法。目的関数と制約条件が線形の場合をILP、非線形の場合を整数非線形計画と呼ぶこともあります。
混合整数計画法: 整数変数と連続変数の両方を含む最適化問題。現実の多くの問題はこの形。MILPと略されることが多い。
0-1整数計画法: 変数が0または1のみを取る特殊なILP。選択・有無を表現する表現に適しており、割り当て・特徴選択・配置問題などで使われます。
線形緩和: 整数制約を外して変数を連続値として扱う緩和。LPを解くことで得られる下界や解のヒントとして利用します。
線形計画法: 制約と目的がすべて線形の最適化問題。通常は整数制約がない場合に用いられ、数値計算が安定しています。
分枝限定法: 大規模な整数計画問題を分岐させて解く基本アルゴリズム。分岐と部分問題の境界を用いて探索を絞り込みます。
カット平面法: LP緩和の解を整数解へ近づけるため、追加の制約（カット）を段階的に加える手法。整数解を効率的に絞り込みます。
混合整数二次計画法: 目的関数が二次形で、変数は整数・連続を混在させる最適化問題。凸/non-convex の性質で難易度が変わります。
混合整数非線形計画法: 非線形の目的関数や制約を含み、整数・連続変数を混在させる幅広い最適化問題の総称。
ソルバー: 最適化問題を計算して解を出すソフトウェアエンジン。アルゴリズムと実装が鍵です。
代表的なソルバー例: Gurobi、IBM ILOG CPLEX、GLPK、CBC、SCIP などが広く使われます。用途や規模に応じて選ばれます。
割り当て問題: n人をn作業など、要素の割り当てを最適化する基本問題。0-1/整数計画の代表例として頻繁に登場します。
ナップサック（関連記事：アマゾンの【ナップサック】のセール情報まとめ！【毎日更新中】）問題: 容量制限のある袋にアイテムを詰めて価値を最大化する問題。0-1版・連続版などの変種があります。
スケジューリング問題: 作業の順序や開始時刻を最適化する問題。生産計画やプロジェクト管理で多く用いられます。
ルーティング問題（VRP）: 配送経路を最適化する問題。車両の数・距離・コストを最小化します。
整数変数・連続変数: 整数変数は整数値のみ、連続変数は実数をとります。混合整数計画法（MILP）はこの両方を扱います。
0-1変数（ブール変数）: 0または1のみを取る変数。選択を表す表現としてよく使われます。
制約充足問題（CSP）: 解がすべての制約を満たすかを問う一般的な問題形式。整数計画の考え方と関連が深いです。
可行解・最適解: 可行解は制約を満たす解、最適解は目的関数を最大化/最小化したときの最良解です。
グローバル最適解・局所最適解: 整数計画ではグローバル最適解を目指します。探索過程で局所最適解に見える場合があります。
NP-hard: 多くの整数計画問題は計算量的に難しく、一般に大きな計算資源を要することが多いクラスに分類されます。
資源配分・生産計画・在庫管理・物流最適化: 実務での典型的な適用領域。資源の最適分配やスケジュールの最適化に利用されます。
初期解・ヒューリスティック解: 良い初期解を用いると探索が速くなることが多く、近似解を提供するヒューリスティック手法も解法の補助として用いられます。
線形緩和の使い方と下界の活用: LP緩和を用いて下界を得て、分枝限定法などの探索を効率化します。