岡田 康介
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複合命題とは？
複合命題は、複数の命題をつないで一つの大きな命題を作る考え方です。命題とは「真か偽かが決まる文」のこと。例えば「今日は雨が降る」は真偽が決まります。
命題と真偽の基本
単独の命題 P を考え、P が真なら真、偽なら偽と呼びます。複合命題は、P や Q のような命題をいくつか組み合わせて作ります。
複合命題の作り方
まず、関係する命題にラベルをつけます。例: P = 「今日は雨が降る」、Q = 「傘を持つ」。この二つを組み合わせて PかつQ、PまたはQ、PならばQ などの新しい命題を作ります。
代表的な論理接続詞
かつ（AND） … 命題PとQの両方が真のときだけ真になります。
または（OR） … PまたはQの少なくとも一方が真のとき真になります。
ならば（IF-THEN） … P が真なら必ず Q が真である場合に真になります。Pが偽のときは、結論がどうであっても全体は真になることもあります。
同値（IFF） … PとQが互いに同じ真理値のとき真になります。
例題で学ぶ
例1: P = 「今日は雨が降る」、Q = 「傘を持つ」。PかつQ は「今日は雨が降り、かつ傘を持つ」という条件です。PまたはQ は「今日は雨が降る、または傘を持つ」になります。PならばQ は「もし今日は雨が降るなら傘を持つ」という意味です。
真理表で見る複合命題
複合命題の正否は、PとQの真偽値によって決まります。以下はPとQの真偽に対するPかつQ、PまたはQ、¬Pの関係を示す小さな表です。
| P | Q | P ∧ Q | P ∨ Q | ¬P |
|---|---|---|---|---|
| 真 | 真 | 真 | 真 | 偽 |
| 真 | 偽 | 偽 | 真 | 偽 |
| 偽 | 真 | 偽 | 真 | 真 |
| 偽 | 偽 | 偽 | 偽 | 真 |
日常の例と練習のコツ
日常にも複合命題の考え方はいっぱいあります。天気予報と傘の有無、授業の出欠と成績、友だちと遊ぶ条件など、いくつかの条件が同時に満たされるかどうかを考える場面が多いです。
学習のポイント
複合命題を理解するコツは、命題を小さく分けて、どの接続詞を使うかを見分けることです。次の練習をしてみましょう。P = 「今日は学校へ行く」、Q = 「宿題を終える」。PかつQ、PまたはQ、PならばQ を書いて、それぞれの真偽を自分で決めてみてください。
このように、複合命題は日常の文を理屈で整理するための道具です。論理は難しく見えるかもしれませんが、身の回りの例を使って段階的に理解すれば、誰でも理解できる考え方です。
応用の例として、セーフティチェック、ソフトウェアの条件分岐、ゲームの勝敗条件などの設計にも役立ちます。最後に練習問題として P=今日は雨、Q=傘を持つ の場合を考え、PかつQ、PまたはQ、PならばQ がどう真になるか確かめてください。
複合命題の同意語
- 複命題
- 2つ以上の命題を論理結合子で結んでできる命題の略称。例:「AかつB」は複命題の一例です。
- 結合命題
- 複数の命題を結ぶことで成る命題の総称。論理積（AND）、論理和（OR）、含意（IF…THEN）などの結合子を用いて作られます。
- 合成命題
- 複数の命題を組み合わせて新しい命題を生むもの。哲学・論理学の文献で『複合命題』と同義に使われることがあります。
- 連言命題
- 連言（A ∧ B 等）によって結ばれた命題のこと。特に論理積を用いた結合を指す語として使われ、複合命題の一種として扱われます。
複合命題の対義語・反対語
- 単一命題
- 複合命題の対義語として使われる、1つの命題だけから成るもの。命題同士を論理結合（AND/OR/NOTなど）しておらず、独立した真偽を持つ。
- 原子命題
- 複合命題を構成する最小要素で、分解できない基本的な命題。pやqなどの記号で表され、これらを結合して複合命題が作られる。
- 単純命題
- 単一命題とほぼ同義で用いられることが多い。複合命題に対して、1つの条件だけを述べる命題という意味合い。
複合命題の共起語
- 単一命題
- 複合命題を構成する前提となる、真偽値が一つの命題。分解できない最小の命題。例: 「雨が降る」
- 命題
- 真偽を決定できる文。真か偽のいずれかをとる。
- 命題論理
- 命題と論理結合子を用いて真偽を扱う理論。
- 論理式
- 命題と論理結合子を組み合わせてできる式。
- 論理結合子
- 複合命題の真偽を決める記号や語彙。
- 論理和
- A ∨ B; いずれかが真なら全体が真。
- 論理積
- A ∧ B; 両方が真のとき全体が真。
- 含意
- A → B; A が真なら B も真。
- 同値
- A ↔ B; A と B が同じ真偽値のとき真。
- 否定
- ¬A; 命題 A の真偽を反転。
- デモルガンの法則
- ¬(A ∨ B) ≡ ¬A ∧ ¬B、¬(A ∧ B) ≡ ¬A ∨ ¬B。
- 命題変数
- 命題を表す記号（p, q, r など）。
- 真理値
- 命題が取りうる真(True)と偽(False)の値。
- 真理値表
- 全ての命題変数の組み合わせに対する真偽を並べた表。
- 恒真式
- 常に真となる命題。
- 矛盾式
- 常に偽となる命題。
- 充足性
- 式が真になる割り当てが存在する性質。
- 充足可能性
- 充足性と同義、式が真になる解が存在するか。
- モデル
- 式を真にする命題変数の割り当ての一つ（解）。
- 推論
- 前提から結論を導く思考や過程。
- 演繹
- 一般法則から個別の結論を導く推論。
- 推論規則
- 結論を導く際の規則の総称。
- モーダス・ポネンス
- A → B かつ A が真なら B が真。
- 分配律
- A ∧ (B ∨ C) ≡ (A ∧ B) ∨ (A ∧ C)、A ∨ (B ∧ C) ≡ (A ∨ B) ∧ (A ∨ C)。
- 結合律
- (A ∧ B) ∧ C ≡ A ∧ (B ∧ C)、(A ∨ B) ∨ C ≡ A ∨ (B ∨ C)。
- 等価変換
- 命題を等価な形に変換して簡略化する操作。
- 公理系
- 基礎となる公理と推論規則の集合。
- 含意関係
- ある命題が別の命題を含意する関係。
複合命題の関連用語
- 複合命題
- 複数の命題を論理結合子で結んだ命題。例：p ∧ q、p → q、p ∨ q など。
- 命題
- 真偽をとる文。例：「雨が降る」など。真か偽のどちらかを取り得る。
- 原子命題
- 命題の中でも最も基本的な要素。結合されていない単独の命題。例：p、q、r。
- 命題変数
- 原子命題を表す記号。p、q、r など、後で真偽を割り当てて複合命題の真偽を決める。
- 命題論理
- 命題と複合命題の真偽を論理結合子で扱う数学的体系。
- 真理値
- 命題がとりうる真（真）と偽の値。通常は True/False。
- 真理表
- 全ての原子命題の真偽組み合わせに対する複合命題の真偽を一覧化した表。
- 論理積
- AND。p ∧ q のように、両方が真のときだけ真になる結合。
- 論理和
- OR。p ∨ q のように、いずれかが真なら真になる結合。
- 否定
- NOT。¬p のように、命題の真偽を反転させる結合。
- 含意
- IMPLICATION。p → q の意味は「p ならば q」。p が真で q が偽のときだけ偽になる。
- 同値
- IF AND ONLY IF。p ↔ q のとき、p と q が常に同じ真偽値になること。
- デ・モルガンの法則
- ¬(p ∧ q) ≡ ¬p ∨ ¬q、¬(p ∨ q) ≡ ¬p ∧ ¬q。
- 分配法則
- 分配の法則。例: p ∧ (q ∨ r) ≡ (p ∧ q) ∨ (p ∧ r)。
- 結合法則
- 結合の法則。例: (p ∧ q) ∧ r ≡ p ∧ (q ∧ r)。
- 恒等律
- 同一律。p ∨ p ≡ p、p ∧ p ≡ p。
- 恒真式
- 常に真になる命題。例: p ∨ ¬p。
- 矛盾
- 常に偽になる命題。例: p ∧ ¬p。
- 真理表の例
- 具体的な複合命題の真偽を示す真理表の説明。
- 正規形
- 複雑な命題式を CNF（連言項積）または DNF（析取項和）の形に整えること。
- CNF
- 連言項の積の形。各節はリテラルの和（OR）で表される形。例： (p ∨ q) ∧ (¬p ∨ r)。
- DNF
- 析取項の和の形。各項はリテラルの積（AND）で表される形。例：(p ∧ ¬q) ∨ (r ∧ p)。
- 充足性
- ある真偽割り当ての下で式が真になる性質。充足可能なら SAT。
- モデル/解釈
- 原子命題に対して真偽を割り当て、複合命題の真偽を決定する基準（解釈）。
- 述語論理
- 命題論理を拡張した論理体系で、量化子（全称 ∀、存在 ∃）や述語を扱う。
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