

岡田 康介
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隣接行列とは何かをやさしく解説
隣接行列とは グラフと呼ばれるつながりの集合を数字で表す方法の一つです。ノードは人や場所などの点を指し、辺はその間のつながりを示します。
隣接行列は正方行列であり、行と列それぞれの番地がノードの順序に対応します。例えばノード A,B,C,D の4点から成るグラフを考えると、行 i 列 j のマスには i から j へ辺があるとき 1 ないとき 0 が入ります。
有向グラフと無向グラフで扱いが少し変わります。有向グラフでは g(i, j) = 1 は「i から j へ辺がある」を意味します。無向グラフの場合、対称になることが多く、行と列を入れ替えても同じ表になります。
具体的な例
以下は4点 A,B,C,D からなる無向グラフの例です。辺は A-B, B-C, C-D, D-A の4つとします。
この表の行の合計は各ノードの次数を表します。例えば A の次数は 2 であり B の次数も 2 です。 diagonall の値が 0 であるのは「自分自身と辺を結ばない」ケースが多いからです。
実務での使い方 隣接行列を使うと、グラフの性質を計算機的に解析できます。行と列を掛け合わせたり、行列の和や積で新しい関係を見つけたりします。データ分析やネットワークの設計、経路探索アルゴリズムの基礎など、さまざまな場面で役立ちます。
まとめ
隣接行列はノード間のつながりを 0 と 1 の数字で並べた正方形の表です。有向グラフと無向グラフで表現の仕方が少し異なり、表の読み方を知るとグラフの性質を直感的に把握できます。
隣接行列の同意語
- 隣接行列
- グラフ理論で、各頂点 i と j が辺で直接結ばれているかを示す 0/1 の行列。a_ij が 1 なら i と j は隣接、0 なら隣接していない。無向グラフなら対称、有向グラフなら方向性を反映します。
- 隣接マトリクス
- 隣接行列の別表現。マトリクスという語を用いた同義表現です。
- グラフの隣接行列
- グラフを対象とした言い換えで、内容は通常の隣接行列と同じ意味を指します。
- 隣接性行列
- 「隣接性」を表す行列という意味で使われる場合があり、同義語として扱われることがあります。ただし用語としては一般的ではない点に注意。
- 隣接性マトリクス
- 隣接性を表す行列の別名。文献によって同義として使われることがあります。
- 近接行列
- 語感は似ていますが専門用語としては稀な表現。場合によっては隣接行列の言い換えとして使われることがありますが、誤解を避けるため元の用語を併記すべきです。
- 接続行列
- 接続という語を用いる表現。意味合いが文献ごとに異なることがあるため、同義とみなす際は定義を確認するのが安全です。
- アジャセンシー行列
- 英語の adjacency matrix のカタカナ表記の一種。日本語文献では必須ではありませんが、見かけることがあります。
- アジャセンシー・マトリクス
- 同様に英語表記のカタカナ表現。技術系文献で見かけることがあります。
隣接行列の対義語・反対語
- 非隣接
- 隣接していない状態のこと。ノード同士が直接結ばれていないことを表します。
- 非隣接性
- ノード間にエッジが存在しない性質のこと。隣接行列でエッジがないことを示す指標になります。
- 無辺
- グラフに辺が一本も存在しない状態のこと。隣接行列は全て0になります。
- 零行列
- 全ての要素が0の行列。隣接行列が示す接続が全くないケースを表現します。
- 非連結
- グラフが連結していない状態。あるノードへ到達できない経路があることを意味します。
- 距離行列
- ノード間の距離を表す行列。隣接行列の直接的な情報とは異なる表現で、対概念として挙げられます。
- 非対称隣接行列
- 有向グラフを表す隣接行列で、対称性を持たない状態。隣接行列の対称性という点の反対概念として捉えられます。
隣接行列の共起語
- グラフ
- 隣接行列は、ノードとエッジからなるグラフを数値で表す代表的な表現です。
- ノード
- グラフの基本要素。隣接行列の行と列はそれぞれのノードに対応します。
- 頂点
- ノードの別名。隣接行列では同様に行列の軸が頂点を表します。
- エッジ
- ノード間の接続を意味します。隣接行列の対応要素が1か0でエッジの有無を示します。
- 無向グラフ
- エッジに方向がなく、隣接行列は対称になります。
- 有向グラフ
- エッジに方向があるグラフで、隣接行列は通常非対称です。
- 対称性
- 無向グラフでは A = A^T、対称の性質を持ちます。
- 非対称性
- 有向グラフなど、隣接行列が非対称になる性質です。
- 自己ループ
- ノード自身へ向かうエッジを表し、対角要素の値で表します。
- 対角要素
- 行列の主対角線上の成分。自己ループの有無を示す場合があります。
- 0-1行列
- 隣接行列は通常、エッジの有無を 0/1 で表す二値行列です。
- 疎行列
- 多くの要素が0で、保存・計算が効率的になる特徴です。
- 密行列
- 多くの要素が非零になる行列を指します。
- 次数
- 各ノードに接続しているエッジの数。隣接行列から導けます。
- 度数行列
- 各ノードの次数を対角成分に並べた対角行列。隣接行列と併用されます。
- 非零要素
- 隣接行列の中で非零の要素。エッジの存在を表します。
- エッジの総数
- 全エッジの数。隣接行列の非零要素の総和などから計算します(有向/無向で扱いが異なる場合あり)。
- 隣接リスト
- 隣接行列の代替表現で、各ノードに直接つながるノードのリストです。
- 正規化隣接行列
- 次数で調整して要素の大きさを揃えた隣接行列。機械学習で安定化に使われます。
- ラプラシアン行列
- 隣接行列と次数行列を用いて作る別のグラフ行列で、構造の性質分析に使われます。
- 正規化ラプラシアン
- ラプラシアンを正規化したバージョン。グラフ学習でよく用いられます。
- 固有値
- 隣接行列の重要な特性を表す値。スペクトル解析の基礎です。
- 固有ベクトル
- 固有値に対応する方向を示すベクトル。グラフ構造の理解に役立ちます。
- スペクトル半径
- 隣接行列の最大絶対固有値。グラフのダイナミクスの指標になります。
- スペクトル分解
- 行列を固有値と固有ベクトルで表す分解。グラフの性質を分解的に分析します。
- 行列演算
- 隣接行列に対して乗算・べき乗などの計算を行い、歩の数や経路情報を得ます。
- A^k
- A の k 乗で、長さ k の歩の数を表すなど、経路情報の計算に使われます。
- グラフ理論
- 隣接行列が研究・理解の中心となる数学分野です。
- グラフニューラルネットワーク
- GNN などの機械学習モデルでは、隣接行列を入力として用います。
- サイズ
- 隣接行列はノード数 n に対して n×n のサイズになります。
- ノード数
- グラフのノードの総数。隣接行列の次元と対応します。
- 頂点数
- ノード数の別名。
隣接行列の関連用語
- 隣接行列
- グラフの隣接関係を表す正方形の行列。行と列が頂点を表し、A[i][j] が辺の有無(0/1)または重みを示します。
- グラフ
- 点と辺で構成されるデータ構造。隣接行列はグラフを数値で表す一つの表示方法です。
- 頂点
- グラフの基本要素。隣接行列の行と列はそれぞれ1つの頂点を表します。
- 辺
- 頂点と頂点を結ぶつながり。隣接行列では A[i][j] が辺の有無/重みを表します。
- 有向グラフ
- 辺に向きがあるグラフ。隣接行列は一般に非対称になります。
- 無向グラフ
- 辺に向きがないグラフ。隣接行列は対称になります。
- 重み付きグラフ
- 辺に重さ(距離やコストなど)をもつグラフ。隣接行列の要素にその重みを入れます。
- 重みなしグラフ
- 辺の存在だけを表すグラフ。重みは 0/1 で表すことが多いです。
- 自己ループ
- 頂点が自分自身とつながる辺。隣接行列の対角要素に現れます(0または1/重み)。
- 隣接リスト
- 各頂点の隣接する頂点をリストで保存する別の表現。疎なグラフに向くことが多いです。
- 単純グラフ
- 自己ループや重複辺がないグラフ。隣接行列は通常0/1で対角が0。
- 多重グラフ
- 同じ頂点間に複数の辺を持てるグラフ。隣接行列では辺の重みや本数をカウントすることがある。
- 対称性
- 無向グラフでは隣接行列が対称。
- 対称隣接行列
- 隣接行列が A = A^T になる状態。
- 0/1行列
- 要素が0または1だけの隣接行列。
- 対角要素
- 行列の対角線上の値。自己ループがある場合は非ゼロになり得ます。
- 非対称隣接行列
- 有向グラフにおける隣接行列で、A[i][j] と A[j][i] が同じでない場合。
- 頂点数と行列サイズ
- グラフの頂点数 n に対して隣接行列は n×n の正方行列です。
- 次数行列
- 各頂点の次数を対角成分に持つ対角行列。Aと連携してグラフの特性を分析します。
- ラプラシアン行列
- L = D - A。スペクトル分解に用いられ、グラフの連結性やクラスタリングに役立ちます。
- 正規化隣接行列
- D^{-1/2} A D^{-1/2} のように次数で正規化した隣接行列。
- 距離行列
- すべての頂点間の最短距離を表す別の行列。隣接行列とは異なる情報を持ちます。
- A^k による経路の本数
- 隣接行列をべき乗すると、長さ k の経路の本数を示します。
- 近傍集合
- 頂点 i の隣接している頂点の集合。
- 経路
- 頂点間の連続した辺の列。
- 連結性
- グラフが1つの連結成分で構成されているかどうか。
- 隣接行列と隣接リストの比較
- メモリ消費や走査の速さが異なり、グラフの密度によって適切な表現が変わります。
- 表現形式の利点と欠点
- 隣接行列はランダムアクセスが速いがメモリを多く使い、隣接リストはメモリ効率が良いが全ての辺を走査するのが遅くなることがある。
- 実世界の応用例
- ソーシャルネットワーク分析、道路網、通信ネットワーク、データ構造のトポロジーなど。
- 計算複雑度
- 隣接行列は space O(n^2)。辺の数 m に対する操作は O(n) 対 O(m) など; BFS/DFS は O(n^2) になることもある。
- インデックスの基準
- ノードの番号付けは0から始まる0-basedと1から始まる1-basedの2通りがある。
- 自己ループの扱い
- 自己ループがある場合の A[i][i] の値に注意。
- スパース表現
- 多数の0を省く工夫。隣接行列はスパースな場合は非効率になることがある。
- 探索アルゴリズムとの関係
- BFS/DFSは adjacency matrix か adjacency list かにより実装が異なる。