逆像・とは？中学生にもわかる基本解説と実例で学ぶ数学の考え方共起語・同意語・対義語も併せて解説！

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岡田康介

名前：岡田康介（おかだこうすけ）ニックネーム：コウ、または「こうちゃん」年齢：28歳性別：男性職業：ブロガー（SEOやライフスタイル系を中心に活動）居住地：東京都（都心のワンルームマンション）出身地：千葉県船橋市身長：175cm 血液型：O型誕生日：1997年4月3日趣味：カフェ巡り、写真撮影、ランニング、読書（自己啓発やエッセイ）、映画鑑賞、ガジェット収集性格：ポジティブでフランク、人見知りはしないタイプ。好奇心旺盛で新しいものにすぐ飛びつく性格。計画性がある一方で、思いついたらすぐ行動するフットワークの軽さもある。 1日（平日）のタイムスケジュール 7:00 起床：軽くストレッチして朝のニュースをチェック。ブラックコーヒーで目を覚ます。 7:30 朝ラン：近所の公園を30分ほどランニング。頭をリセットして新しいアイデアを考える時間。 8:30 朝食＆SNSチェック：トーストやヨーグルトを食べながら、TwitterやInstagramでトレンドを確認。 9:30 ブログ執筆スタート：カフェに移動してノートPCで記事を書いたり、リサーチを進める。 12:30 昼食：お気に入りのカフェや定食屋でランチ。食事をしながら読書やネタ探し。 14:00 取材・撮影・リサーチ：街歩きをしながら写真を撮ったり、新しいお店を開拓してネタにする。 16:00 執筆＆編集作業：帰宅して集中モードで記事を仕上げ、SEOチェックやアイキャッチ作成も行う。 19:00 夕食：自炊か外食。たまに友人と飲みに行って情報交換。 21:00 ブログのアクセス解析・改善点チェック：Googleアナリティクスやサーチコンソールを見て数字を分析。 22:00 映画鑑賞や趣味の時間：Amazonプライムで映画やドラマを楽しむ。 24:00 就寝：明日のアイデアをメモしてから眠りにつく。

逆像・とは？

逆像は、ある関数の結果として現れる集合の“逆側”を見つけ出す考え方です。日常で言えば、ある条件を満たす結果が出たとき、その結果を出した元をさかのぼって探す作業に似ています。数学ではこのとき逆像という言葉を使い、記号としては通常 f^{-1}(B) の形で表します。

定義の直感は次のとおりです。もし f: X → Y という関数があって、B が Y の部分集合だとします。逆像 f^{-1}(B) は X の中で、f(x) が B に属するすべての x の集合です。つまり f(x) が B に入る x の集合を指します。

基本の例

最もよく使われる例として、関数 f(x) = x^2 を挙げます。定義域 X を実数全体、値域 Y も実数全体とします。B を区間 [0, 4] とすると、逆像は

f^{-1}(B) = [-2, 2] となります。これは x^2 が範囲 0 から 4 に入る x の集合だからです。ここからわかるのは、逆像は逆関数を使わなくても常に定義できるという点です。

像と逆像の違い

よく混同されがちなのが像と逆像の違いです。像は f(A) = { f(a) | a ∈ A } のように、元の集合 A が「f によって移されてできる集合」を指します。一方、逆像は先ほどの定義のように、ある集合 B に対して「それを作り出す元の集合」を指します。つまり像は射影された先の集合、逆像は元へさかのぼる集合という関係です。

また 逆関数 との違いにも注意しましょう。逆関数 f^{-1}: Y → X は、f が全単射であるときに限り定義されます。これは関数の「実体としての逆」を表しますが、逆像 f^{-1}(B) は常に定義され、中身は B の性質に依存して変わります。つまり逆像と逆関数は別物です。

実生活のイメージ

直感的には、地図の拡大と縮小の関係を思い浮かべてください。ある場所の座標が地図のある領域 B に対応するとき、その領域を作り出した元の場所 X を探す作業が逆像に近いです。別の例として、ある条件を満たすデータの“出所”をさかのぼる場合にも逆像の考え方は役立ちます。

演習とポイント

実際の問題では、f が与えられ、B が与えられると、逆像 f^{-1}(B) を構成します。ポイントは次の通りです。
1) f(x) が B に含まれる x を全て集める。
2) 逆像は必ずしも連続区間になるとは限らない。
3) 逆像と像の違いを意識すること。
4) 逆像は集合として扱うので、ユニオンや交差などの演算にも安定して使える。

表で見る基本関係

able> 項目説明逆像の定義f^{-1}(B) = { x ∈ X | f(x) ∈ B } 像の定義f(A) = { f(a) | a ∈ A } 逆像の例f(x) = x^2 のとき B=[0,4] のとき f^{-1}(B) = [-2,2] 逆関数の条件f が全単射のときのみ定義 ble>

重要ポイントとして、逆像は集合の性質を扱う道具であり、関数の形が変わっても定義は成立します。定義域 X や値域 Y、そして集合 B の選び方によって逆像は大きく変わる点に注意しましょう。

簡単な練習問題

練習: f(x) = 3x + 1、X=R、Y=R、B = { y | y ≤ 7 } とする。逆像 f^{-1}(B) を求めよ。解説: f(x) ∈ B となる x を解く。3x + 1 ≤ 7 → 3x ≤ 6 → x ≤ 2。従って逆像は (-∞, 2]。

このように逆像は、どんな関数にも適用でき、集合の扱いとしては非常に強力です。数え上げや条件付きの探索、データの抽出など、数学以外の場面でも役立つ考え方です。

逆像の同意語

前像: 関数 f: X → Y と部分集合 B ⊆ Y が与えられたとき、B の前像とは X の部分集合 { x ∈ X | f(x) ∈ B } のこと。つまり、B に“ふさがれる”要素の出発点となる X の集合です。
反像: 前像と同義の呼び方。B の反像は f^{-1}(B) で表され、X の中で f(x) が B に含まれる要素の集合を指します。
原像: 文献によって前像の別称として用いられる語。意味は前像と同じで、f(x) が B に属する x の集合を指します。
逆写像: 逆写像は写像の逆の概念を指す語。関数 f が全単射であるとき定義される逆関数 f^{-1} を指すことが多いですが、集合の前像を表す文脈でも使われることがあり、その場合は前像と同義と理解されることがあります。
前像集合: 集合 B ⊆ Y の前像全体を指す表現。f^{-1}(B) の集合として X の部分集合を表します。

逆像の対義語・反対語

正像: 関数 f:X→Y における、定義域の集合 A ⊆ X を写して得られる像。すなわち f(A) のこと。逆像の対になる概念として最も基本的な対語です。
像: 関数が入力集合を出力へ映す結果として得られる集合。f(A) のように、A ⊆ X に対して生じる出力の集合。文脈によっては逆像の対語として使われることがあります。
直接像: 一般にはあまり使われないが、逆像の対になる概念を指す際に“直接的な像”という意味で使われることがある語。標準的な用語ではないため文脈依存です。

逆像の共起語

前像: 逆像の同義語。関数 f に対して、集合 B の元 x が f(x) ∈ B となるような定義域の元の集合。f の前像は f^{-1}(B) で表される。
逆写像: 元の関数の逆方向の対応をつくる写像。関数が可逆な場合に限り存在する。
逆関数: 関数が可逆で、その逆の対応を持つときの関数。f が可逆なら f^{-1} が逆関数。
像: 関数がある集合を対象に対応付けた結果の集合。f(A) = { f(a) | a ∈ A }。
全像: 定義域全体を対応させたときの像。すなわち f(X) の集合。
定義域: 関数の入力となる集合。f が定義される x の集合。
値域: 関数の出力の集合。f(x) が取り得る値の集合（別名：値の取り得る範囲）。
集合: 要素を集めた集合。逆像は集合を対象にした操作。
部分集合: ある集合の一部を成す集合。f^{-1}(B) は定義域の部分集合になることが多い。
関数: 入力と出力を対応づける数学的な規則。
写像: 関数の別名。要素を別の集合の要素へ対応づける規則。
開集合: 位相空間で、点の近傍を含む集合。連続性の定義で重要。
連続: 関数の開集合の逆像が開集合になる性質。逆像の概念と深く関係。
単射: 異なる入力を異なる outputs に対応させる性質。
全射: 定義域のすべての要素が値域の要素に対応する性質。
補集合: 集合の補集合。f^{-1}(B^c) = (f^{-1}(B))^c となることが多い。
和集合: 集合の和（A ∪ B）。逆像は f^{-1}(A ∪ B) = f^{-1}(A) ∪ f^{-1}(B) で分配する。
積集合: 集合の積（A ∩ B）。逆像は f^{-1}(A ∩ B) = f^{-1}(A) ∩ f^{-1}(B) で分配する。
開集合の前像: 連続性の定義において、任意の開集合の逆像が開集合になる性質。

逆像の関連用語

前像: 関数 f: X → Y に対して、部分集合 B ⊆ Y の逆像（前像）とは { x ∈ X | f(x) ∈ B } の集合。例: f(x)=x^2, B={4} の前像は { -2, 2 }。
前像集合: 特定の B ⊆ Y に対して作る前像の集合 f^{-1}(B)。
像: A ⊆ X に対して f(A) = { f(a) | a ∈ A } の集合。出力として得られる像の集合。
定義域: 関数が入力として取りうる全体の集合。英語では domain。
値域: 関数の出力として取り得る候補の集合。実際の出力はこの値域の部分集合になることが多い。
関数/写像: 入力と出力を対応づける規則。1つの入力に必ず1つの出力を対応させる。
全射: 値域のすべての要素 y ∈ Y に対して、少なくとも1つの x ∈ X が f(x) = y となる性質。
単射: 異なる入力 x1 ≠ x2 が同じ出力に写らない性質。すなわち f(x1) ≠ f(x2)。
全単射: 全射と単射を同時に満たす写像。逆写像が定義される条件。
逆写像: 全単射が成り立つとき、f^{-1}: Y → X として定義される“逆の写像”。
逆関数: 全単射のとき存在する関数 g: Y → X。f(g(y)) = y および g(f(x)) = x を満たす。
開集合の前像: 連続性の定義に関する性質。関数 f が連続だとき、任意の開集合 U ⊆ Y の前像 f^{-1}(U) は X で開く。