係数行列・とは？をわかりやすく解説します：初心者向けガイド共起語・同意語・対義語も併せて解説！

この記事を書いた人

岡田康介

名前：岡田康介（おかだこうすけ）ニックネーム：コウ、または「こうちゃん」年齢：28歳性別：男性職業：ブロガー（SEOやライフスタイル系を中心に活動）居住地：東京都（都心のワンルームマンション）出身地：千葉県船橋市身長：175cm 血液型：O型誕生日：1997年4月3日趣味：カフェ巡り、写真撮影、ランニング、読書（自己啓発やエッセイ）、映画鑑賞、ガジェット収集性格：ポジティブでフランク、人見知りはしないタイプ。好奇心旺盛で新しいものにすぐ飛びつく性格。計画性がある一方で、思いついたらすぐ行動するフットワークの軽さもある。 1日（平日）のタイムスケジュール 7:00 起床：軽くストレッチして朝のニュースをチェック。ブラックコーヒーで目を覚ます。 7:30 朝ラン：近所の公園を30分ほどランニング。頭をリセットして新しいアイデアを考える時間。 8:30 朝食＆SNSチェック：トーストやヨーグルトを食べながら、TwitterやInstagramでトレンドを確認。 9:30 ブログ執筆スタート：カフェに移動してノートPCで記事を書いたり、リサーチを進める。 12:30 昼食：お気に入りのカフェや定食屋でランチ。食事をしながら読書やネタ探し。 14:00 取材・撮影・リサーチ：街歩きをしながら写真を撮ったり、新しいお店を開拓してネタにする。 16:00 執筆＆編集作業：帰宅して集中モードで記事を仕上げ、SEOチェックやアイキャッチ作成も行う。 19:00 夕食：自炊か外食。たまに友人と飲みに行って情報交換。 21:00 ブログのアクセス解析・改善点チェック：Googleアナリティクスやサーチコンソールを見て数字を分析。 22:00 映画鑑賞や趣味の時間：Amazonプライムで映画やドラマを楽しむ。 24:00 就寝：明日のアイデアをメモしてから眠りにつく。

はじめに

この記事では「係数行列・とは？」について、初心者にも分かりやすく解説します。係数行列とは、複数の未知数を含む連立方程式の各未知数の係数だけを集めた矩陣のことです。例えば、2つの未知数 x と y を含む連立方程式があるとき、係数の部分を並べたものが係数行列になります。これを理解する第一歩として、実際の式を思い浮かべてみましょう。

係数行列の定義と役割

「係数行列」という言葉を分解すると、係数は未知数の前につく数字のこと、行列は数字を縦横に並べた表のことです。つまり、連立方程式の係数だけを集めた表が係数行列です。これを使うと、A x = b のような行列形式にして、解を見つける作業を機械的に行えるようになります。

どんなときに使うのか

もし m 個の式と n 個の未知数があるとき、係数行列 A は m 行 n 列の行列になります。未知数ベクトル x は n 行 1 列の垂直ベクトル、右辺の定数ベクトル b は m 行 1 列のベクトルです。方程式を 行列の掛け算の形 で表すと、A x = b となり、解を探す手法が体系化されます。

具体例で理解を深める

次の2つの式を考えます。

3x + 4y = 5

1x - 2y = 3

able>341-2ble>

このとき、係数行列 A は上の表と同じ形で

3	4
1	-2

です。右辺ベクトル b は

となります。

拡張行列（ augmented matrix ）として、係数行列と右辺のベクトルを横につなげた形も使われます。例えば次のような形です。

3	4	\|	5
1	-2	\|	3

解法のヒントとまとめ

ガウスの消去法などの手法を使えば、拡張行列を逐次操作して未知数の値を見つけることができます。解の存在と一意性を判断するためには、行列の階数や逆行列の有無を調べます。初心者には、まず A x = b という形に慣れ、係数行列の性質を意識することが大切です。

まとめ

本記事のポイントは、係数行列とは何か、どうやって作るのか、そして A x = b という形に落とし込んで解く基本的な考え方を知ることです。これを理解すると、連立方程式を解くときに、ただ暗記するのではなく「どうしてそうなるのか」が見えるようになります。

係数行列の同意語

係数行列: 線形方程式系の未知数の係数を並べた行列。通常は A と表記され、Ax = b の係数部分を指します。
線形方程式系の係数行列: 線形方程式系の各式に現れる係数を集めて作る行列。行列 A を指すことが多いです。
方程式の係数を並べた行列: 各方程式の係数を並べて並べた行列で、未知数の係数をまとめたものです。
線形代数における係数行列: 線形代数の文脈で、未知数の係数を含む行列の総称。解法の前提となる基礎的な行列です。
行列A（係数行列としての表記）: 係数行列を表す記号としてよく使われる A。方程式系の係数を格納する行列を指します。
系の係数行列: 複数の方程式系の係数をまとめた行列。方程式 Ax = b の A のことを指します。
係数を格納する行列: 方程式の各係数を格納しておくための行列。未知数の解を求める際の基本形です。

係数行列の対義語・反対語

未知数ベクトル: 方程式 Ax=b で未知数 x を縦に並べたベクトルです。係数行列 A の対になる、解を表す要素群として扱います。
右辺ベクトル: Ax=b の右辺を縦ベクトルとして並べたものです。係数行列 A に対する対になる成分で、定数項が並ぶことが多いです。
定数項ベクトル: 方程式の各式の定数項を並べたベクトルです。右辺ベクトルと近い意味ですが、定数項という観点から整理する時に使われます。
拡張行列: 係数行列 A と右辺ベクトル b を横に並べて [A|b] の形にした拡張行列です。解法の準備やガウス消去の手順でよく使われます。
拡張係数行列: 拡張行列の別名。係数行列と右辺を一つの行列にまとめた表現です。
解ベクトル: 方程式 Ax=b の解を並べたベクトルです。未知数 x の解がこのベクトルとして表現されます。

係数行列の共起語

線形代数: 線形代数は、係数行列を用いて線形方程式や線形変換を扱う数学の分野です。係数行列は Ax = b の形の多くの問題の核となります。
行列: 行列は数値を規則的に配置した長方形の表です。係数行列はこの形を使って連立方程式の係数を表します。
連立方程式: 複数の方程式を同時に解く問題で、係数行列 A と未知ベクトル x、定数ベクトル b を用いて Ax = b で表現されます。
線形方程式系: 線形方程式の集合で、係数行列 A を用いて Ax = b の形で表現されます。
拡大係数行列: 拡大係数行列は [A | b] の形をもつ表で、ガウス消去などの解法で用います。
拡張行列: 拡張行列は、係数行列と定数項を横に並べた [A | b] 形式の表で、解の探索に用います。
未知ベクトル: 未知ベクトル x は、方程式 Ax=b の未知数を縦ベクトルとしてまとめたものです。
定数ベクトル: 定数ベクトル b は Ax=b の右辺の定数項を縦ベクトルとしてまとめたものです。
係数: 各式の左辺に現れる数値のことで、行列の各要素に対応します。
係数行列: 係数行列は連立方程式の係数を並べた正方（または長方形）行列で、未知数ベクトルとの関係 Ax=b を表します。
逆行列: 行列 A が正則のとき存在する行列で、解 x = A^-1 b の形を作るために使われます。
正則行列: 正則行列は行列式がゼロでない正方形の行列で、逆行列が存在します。
行列式: 行列式は正方行列に対して定義され、可逆性の指標として用いられます。
転置行列: 転置行列は行と列を入れ替えた行列で、対称性や転置の性質を調べるときに使います。
転置: 転置は行と列を入れ替える演算です。
行列の積: 行列の積は 2 つ以上の行列（あるいは行列とベクトル）を掛け合わせて新しい行列を得る演算です。
LU分解: LU分解は A を下三角行列 L と上三角行列 U の積に分解する手法で、解 Ax=b や逆行列の計算に有用です。
QR分解: QR分解は A = Q R の形に分解する手法で、最小二乗解の計算などに用いられます。
特異値分解: 特異値分解は A = U Σ V^T の形で、行列の近似、安定性、解の性質を分析するのに用います。
ガウスの消去法: ガウスの消去法は拡大係数行列を段階的に変形して解を求める基本アルゴリズムです。
ガウス–ジョルダン法: ガウス–ジョルダン法は拡大係数行列を単位行列へと変形して解を得る直接法です。
階数: 行列の階数は列空間の次元を表す指標で、連立方程式の解の存在条件や一意性判断に使われます。
秩: 秩は階数と同義で、Ax=b の解の有無・一意性を決定づけます。
条件数: 条件数は行列の数値的安定性を測る指標で、逆行列の扱いの難易度や数値誤差の影響度を示します。
列ベクトル: 列ベクトルは縦に並んだ数値の列で、未知ベクトル x や定数ベクトル b などに使われます。
列空間: 列空間は係数行列の各列が張るベクトル空間で、解の存在・一意性と関連します。
固有値: 固有値は行列変換が方向をどう拡大縮小するかを表す特性値です。
固有ベクトル: 固有ベクトルは固有値に対応する特定の方向ベクトルで、変換後も方向が変わらずスカラー倍されます。
最小二乗法: 最小二乗法は過剰なデータに対して Ax ≈ b の誤差を最小化する解法で、A^T A x = A^T b を解くことで求めます。
正方行列: 正方行列は行数と列数が同じ方形の行列で、逆行列の存在・関係性が重要です。

係数行列の関連用語

係数行列: 連立方程式の左辺に現れる係数を集めて作る行列。未知数の個数を列、方程式の個数を行とし、サイズは m×n になる。
行列: 数値を長方形に並べたデータ構造。実数・複素数などの成分を格納し、行と列で操作する。
線形代数: 線形方程式とベクトル空間を扱う数学の分野。行列やベクトルの性質を用いて問題を解く。
連立方程式系: 複数の一次方程式が同時に成立する方程式の集合。係数行列と定数項ベクトルで表す。
拡張行列: 係数行列 A と定数項ベクトル b を横に連結して得られる行列 [A|b]。ガウス消去の際に用いる。
定数項ベクトル: 各方程式の右辺の定数を縦に並べたベクトル b。
未知数ベクトル: 方程式に現れる未知の変数を縦に並べたベクトル x。
係数ベクトル: 1つの方程式の未知数に掛かる係数を並べたベクトル a = (a1, a2, ..., an)。
未知数: 解くべき変数の集合。ベクトルとしてまとめて扱うことが多い。
解: Ax = b を満たす未知数ベクトル x のこと。
解の存在と一意性: 方程式系に解が存在するか、存在しても一意かどうかを判断する性質。rank(A) と rank([A|b]) の比較、det(A) が関係する。
ガウスの消去法: 行基本変形を用いて拡張行列を階段形にして解を得る手法。
ガウス＝ジョルダン消去法: 拡張行列を完全に簡約化して単位行列に近づけ、解を直接得る方法。
ランク: 行列の階数。独立な行・列の最大数で、解の存在・個数を決定する指標。
行基本変形: 行の交換・行のスカラー倍・別の行の加算など、解法の等価性を保つ操作。
転置行列: 行と列を入れ替えた行列 A^T。
逆行列: 正則な平方行列 A に対して存在する A^{-1}。A A^{-1} = I を満たす。
正則行列: 行列式が非零で、逆行列を持つ平方行列。
特異行列: 行列式が 0 で逆行列を持たない行列。
行列式: 正方行列の成分から決まるスカラー量。行列の可逆性や固有値と関係する。
クラメル公式: det(A) ≠ 0 の正方行列に対して、x_i = det(A_i)/det(A) で解を求める方法。
LU分解: A = LU の分解。連立方程式を解く際に前進代入・後退代入で解く。
QR分解: A = QR の分解。最小二乗問題の解法などに用いられる。
最小二乗法: 観測データと過剰な未知数がある場合、誤差の二乗和を最小にする解を求める方法。
擬似逆: ムーア・ペンローズの擬似逆 A^+ を用いて、非正則行列にも解を定義する方法。
自由度: 解の成分のうち独立して決められる自由な変数の数。
列空間: 係数行列の列が張る線形空間。
行空間: 係数行列の行が張る線形空間。
固有値と固有ベクトル: 行列の性質を表す特定のスカラー値と、それに対応する非ゼロの固有ベクトル。
上三角行列/下三角行列/対角行列: 三角形状の形を持つ行列で、解法を容易にする。
対称行列: A^T = A の行列。特有の性質を持ち、特定の解法が適用されやすい。
実数系/複素数系: 係数行列の成分が実数値か複素数値か。いずれかの数域で扱われる。