一次変換・とは？初心者にも分かる数学の入口ガイド共起語・同意語・対義語も併せて解説！

この記事を書いた人

岡田康介

名前：岡田康介（おかだこうすけ）ニックネーム：コウ、または「こうちゃん」年齢：28歳性別：男性職業：ブロガー（SEOやライフスタイル系を中心に活動）居住地：東京都（都心のワンルームマンション）出身地：千葉県船橋市身長：175cm 血液型：O型誕生日：1997年4月3日趣味：カフェ巡り、写真撮影、ランニング、読書（自己啓発やエッセイ）、映画鑑賞、ガジェット収集性格：ポジティブでフランク、人見知りはしないタイプ。好奇心旺盛で新しいものにすぐ飛びつく性格。計画性がある一方で、思いついたらすぐ行動するフットワークの軽さもある。 1日（平日）のタイムスケジュール 7:00 起床：軽くストレッチして朝のニュースをチェック。ブラックコーヒーで目を覚ます。 7:30 朝ラン：近所の公園を30分ほどランニング。頭をリセットして新しいアイデアを考える時間。 8:30 朝食＆SNSチェック：トーストやヨーグルトを食べながら、TwitterやInstagramでトレンドを確認。 9:30 ブログ執筆スタート：カフェに移動してノートPCで記事を書いたり、リサーチを進める。 12:30 昼食：お気に入りのカフェや定食屋でランチ。食事をしながら読書やネタ探し。 14:00 取材・撮影・リサーチ：街歩きをしながら写真を撮ったり、新しいお店を開拓してネタにする。 16:00 執筆＆編集作業：帰宅して集中モードで記事を仕上げ、SEOチェックやアイキャッチ作成も行う。 19:00 夕食：自炊か外食。たまに友人と飲みに行って情報交換。 21:00 ブログのアクセス解析・改善点チェック：Googleアナリティクスやサーチコンソールを見て数字を分析。 22:00 映画鑑賞や趣味の時間：Amazonプライムで映画やドラマを楽しむ。 24:00 就寝：明日のアイデアをメモしてから眠りにつく。

一次変換とは何か

一次変換は数学の分野で使われる言葉です。日常生活の中には直接耳にしない概念ですが、「あるものを別の形に変える操作」でありながら、元の性質を壊さずに変換するという特徴があります。特に平面や空間の座標を扱う場合にとてもよく使われます。ここでは中学生にも分かるように、身近なイメージとともに解説します。

定義の直感

一次変換はベクトルと呼ばれる数字の並びを別の並びに変える作業です。重要なのは、足し算とスカラー倍の性質を崩さない点です。もし A が一次変換ならば、任意のベクトル x,y と実数 c に対して次のような性質が成り立ちます。
Ｔ(x + y) = T(x) + T(y) そして T(cx) = cT(x)。

この性質を持つとき、その変換は“線形変換”と呼ばれます。語尾の意味としては、複雑な形を作るのではなく、元の形を“線の性質”を保ちながら並べ替えたり引き伸ばしたりするイメージです。

線形変換と行列の関係

実際に計算するときは、座標の変換を行列と呼ばれる数字の表で表します。2次元の場合は 2×2 の行列が使われ、3次元以上ではそれに応じた大きさの行列になります。例えば 2次元では次のような形で表現されます。

able> 変換行列第一の列 ble>

この表現を使うと、ベクトル x = (x, y) に対して T(x) は行列とベクトルの掛け算として得られます。ここでは具体例として説明します。

2次元の具体例

例1 拡大・縮小 は次のような行列で表せます。A = ～2次元の対角行列～

2	0
0	3

この変換は x 座標を 2 倍、 y 座標を 3 倍します。たとえばベクトル (x, y) をこの変換で変えると (2x, 3y) になります。

例2 回転 90 度回転は次の行列で表せます。

0	-1
1	0

この変換をベクトル (x, y) に適用すると T(x, y) = (-y, x) になります。例えば (3, 2) を回転させると (-2, 3) になります。実際の計算は次のようになります。

計算例: T(3, 2) = (0×3 + -1×2, 1×3 + 0×2) = (-2, 3)

例3 せん断（シアー） せん断は座標をずらすような変換です。A =

1	1
0	1

この変換は x 座標に y を足すような効果を作り出します。つまり T(x, y) = (x + y, y) となります。

一次変換の性質と実用性

一次変換の重要な点は、変換とベクトルの「組み合わせ」が簡単に計算できることです。例えば2つの変換 T と S を順番に適用するなら、結果は新しい行列の積として表現できます。つまり T(S(x)) は行列の掛け算で表せます。これにより、複数の図形操作を連続して行うことが効率よくできます。

実生活の例としては、カメラの座標系を別の座標系に合わせる作業、画像処理での幾何変換、2Dゲームでの画面上のオブジェクトの動きの計算などがあります。数学の力で、図形がどう変形するかを正確に予測できるのです。

核と像についてのやさしい説明

一次変換では、どんなベクトルを T に入れると 0 に変わるかを考える核と、T によってどんなベクトルが出てくるかを考える像という言葉が出てきます。核は変換をゼロにするベクトルの集まり、像は変換後のベクトルの集合です。高校生になれば「階数定理」や「核と像の関係」といった考え方に自然と触れますが、ここでは直感として覚えておくと良いでしょう。

練習してみよう

次の変換が一次変換かどうかを考えてみましょう。A が 2D の場合、T(x, y) = (x, 0) は線形性を保つか、T(x, y) = (x, y) + (1, 0) のように定数を足すだけの変換は一次変換かどうかを判断します。

まとめ

一次変換はベクトル空間を別の空間へ移す操作であり、足し算とスカラー倍の性質を保ちます。2次元の例として拡大・回転・せん断を挙げ、実際には行列の掛け算で計算する点がポイントです。図形の変形を理解するための強力な道具であり、コンピュータのグラフィック処理や座標変換の基礎にもつながります。

ポイントを押さえれば、一次変換のイメージはつかみやすくなります。変換を行列として捉え、複数の変換を組み合わせる考え方を身につけると、数学だけでなくデータ処理やプログラミングの世界でも役立ちます。

一次変換の同意語

線形変換: 入力ベクトルを線形な規則で別のベクトルへ写す変換。原点を固定し、加法とスカラー倍を保存します。
線形写像: 線形変換の別名。関数としての写像で、加法とスカラー倍の性質を満たします。
アフィン変換: Ax + b の形をとる変換。平行移動を含むことがあり、一次変換的に扱われることもあります。
行列変換: 行列を用いてベクトルを別のベクトルへ写す変換。線形変換を表現・計算する際の実装方法として使われます。
1次変換: 一次変換と同義で使われる略語表記。文脈により線形性を指す場合と、広い意味の変換を指す場合があります。
ベクトル写像: ベクトル空間間の写像全般を指します。線形写像はこの中の一種です。

一次変換の対義語・反対語

非線形変換: 意味: 線形性を満たさない変換。T(x+y) = T(x) + T(y) や T(a x) = a T(x) の両方を満たさない、あるいは少なくとも一方が成り立たない変換を指す。一次変換（線形変換）の対極として想定されることが多い。
二次変換: 意味: 入力の二次成分を用いる変換。例: T(x) = x^2。線形性を満たさず、一次変換の対比として挙げられることが多い。
アフィン変換: 意味: 線形変換に平行移動を加えた変換。形式は T(x) = A x + b。原点を通すかどうかで線形変換とは異なり、純粋な『一次変換』の対義的概念として挙げられることがある。
逆変換: 意味: ある変換を元に戻す操作。T^{-1} が存在すれば成立。対義語というより“反対の働き”を指す関連概念。
恒等変換: 意味: 入力をそのまま出力とする変換。T(x) = x。一次変換の特別なケースとして挙げられ、対比的な例になる。