巡回セールスマン問題とは？初心者向け解説｜最短ルートを探す数学の謎共起語・同意語・対義語も併せて解説！

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岡田康介

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巡回セールスマン問題とは？

巡回セールスマン問題（TSP）は、複数の都市を訪問して出発地点に戻るときの総距離を最小にする経路を見つける問題です。旅程をなるべく短くしたいときに使われます。いわば「どの道を回ったら一番短いのか」を数学と計算機で探すゲームのようなものです。

現実の場面では配送や訪問スケジュール、旅行の計画などに応用されます。TSPは数学の中でも特に「組合せ最適化」という分野の有名な問題で、解き方には正解を出す方法と近似で十分な解を得る方法の両方があります。

身近な例でイメージ

4つの都市A,B,C,Dを考え、出発地点をAとします。AからBへ行き、BからCへ、CからDへ戻るなど、すべての道順を試して距離を比べ、一番短い総距離になるルートを見つけます。最適なルートを見つける過程が「巡回セールスマン問題」です。

簡単な距離表と例

以下は4つの都市の距離表の例です。実際の問題では距離は地図上の直線距離や実測距離を使います。

able> A0101520 B1003525 C1535030 D2025300 ble>

この表から最短の経路を考えると、例として A → B → D → C → A のような順序が候補に挙がります。実際の総距離は表の値を足し合わせて求めます。なおこの数値は例示用であり、他の表では異なる結果になります。

なぜ難しいのか

都市の数が増えるにつれて、調べる経路の数は急激に増えます。n 個の都市なら、出発点を決めてからの経路の候補は約 (n-1)! 通りにもなり、すべてを正確に評価するには膨大な計算量が必要です。これを 「組み合わせ爆発」 と呼び、現実にはコンピュータの計算能力の限界と戦いながら解法を設計します。

解く方法のヒント

正確な解を常に出すのは難しいため、近似解を使うのが一般的です。代表的な方法をいくつか紹介します。

・最近隣法（Nearest Neighbor）: まだ訪れていない都市の中で最も近いものを次に選ぶシンプルな手法。

・2-opt法: 一度作った経路の一部を交換して距離を減らせないかを何度も検討する改良法。

・シミュレーテッドアニーリングや遺伝的アルゴリズム: おおざっぱな解を始めとして、徐々に良い解に近づける探索の工夫です。

身近な応用と重要性

現実世界では配送ルートの最適化、訪問スケジュールの作成、ロボットの経路計画、巡回点検の順序決定などに使われます。最適化の考え方を学ぶことで、「どうすれば時間と距離を最小にできるか」を、数字と図で考える力が身につきます。

まとめとポイント

ポイント：巡回セールスマン問題は多くの都市を効率よく訪問する経路を探す問題。難しさは都市数が増えると候補経路が爆発的に増える点。正確な解法と近似解法の両方が存在し、現実の課題では近似解法がよく使われる点が覚えておくべき要点です。

巡回セールスマン問題の同意語

巡回セールスマン問題: 各都市を一度ずつ訪問して元の出発点に戻る回路の総移動距離を最小化する、代表的な組合せ最適化問題。実世界の配送・訪問計画の基本的なモデルとして広く扱われる。
旅行セールスマン問題: 巡回セールスマン問題の別称。意味は同じく、訪問コースの総距離を最小化する問題。
トラベリングセールスマン問題: 英語名 Traveling Salesman Problem のカタカナ表記。論文や教材で頻繁に使われる同義語。
Traveling Salesman Problem: 英語名の正式表記。日本語文献でも用いられ、定義は巡回セールスマン問題と同じ。
ハミルトン回路問題: 無向グラフ・有向グラフで、すべての頂点を一度ずつ通る閉路（ハミルトン回路）を見つける問題。重み付きグラフで距離を表す場合、TSPの特別なケースとして扱われることが多い。
最短巡回路問題: 訪問順序を決めて全体の巡回距離を最短にする問題の総称。TSPの言い換え表現として使われることがある。
距離最小化巡回問題: 距離行列を用い、巡回路の総距離を最小化する問題。研究・教科書で別名として用いられることがある。