全単射・とは？初心者にも分かる具体例と解説共起語・同意語・対義語も併せて解説！

この記事を書いた人

岡田康介

名前：岡田康介（おかだこうすけ）ニックネーム：コウ、または「こうちゃん」年齢：28歳性別：男性職業：ブロガー（SEOやライフスタイル系を中心に活動）居住地：東京都（都心のワンルームマンション）出身地：千葉県船橋市身長：175cm 血液型：O型誕生日：1997年4月3日趣味：カフェ巡り、写真撮影、ランニング、読書（自己啓発やエッセイ）、映画鑑賞、ガジェット収集性格：ポジティブでフランク、人見知りはしないタイプ。好奇心旺盛で新しいものにすぐ飛びつく性格。計画性がある一方で、思いついたらすぐ行動するフットワークの軽さもある。 1日（平日）のタイムスケジュール 7:00 起床：軽くストレッチして朝のニュースをチェック。ブラックコーヒーで目を覚ます。 7:30 朝ラン：近所の公園を30分ほどランニング。頭をリセットして新しいアイデアを考える時間。 8:30 朝食＆SNSチェック：トーストやヨーグルトを食べながら、TwitterやInstagramでトレンドを確認。 9:30 ブログ執筆スタート：カフェに移動してノートPCで記事を書いたり、リサーチを進める。 12:30 昼食：お気に入りのカフェや定食屋でランチ。食事をしながら読書やネタ探し。 14:00 取材・撮影・リサーチ：街歩きをしながら写真を撮ったり、新しいお店を開拓してネタにする。 16:00 執筆＆編集作業：帰宅して集中モードで記事を仕上げ、SEOチェックやアイキャッチ作成も行う。 19:00 夕食：自炊か外食。たまに友人と飲みに行って情報交換。 21:00 ブログのアクセス解析・改善点チェック：Googleアナリティクスやサーチコンソールを見て数字を分析。 22:00 映画鑑賞や趣味の時間：Amazonプライムで映画やドラマを楽しむ。 24:00 就寝：明日のアイデアをメモしてから眠りにつく。

全単射とは？基本をおさえる

この記事では、全単射・とは？を中学生にも分かるように解説します。全単射は、ある集合AとBの間の関数f: A → Bが、1対1（単射）であり、かつ 全ての要素が像として現れる（全射）という二つの性質を同時に満たすときに成り立ちます。

用語の意味を押さえる

定義域は関数に入力する元の集合、値域は出力できる元の集合です。単射とは、異なる入力は必ず異なる出力になる性質です。つまり x1 ≠ x2 なら f(x1) ≠ f(x2) が成り立つことを意味します。

全射とは、値域のすべての元が、少なくとも1つの入力の像として現れる性質です。つまり、B のすべての要素 b に対して、ある x が存在して f(x) = b になることです。

具体的な例で理解する

例1: f: {1,2,3} → {2,4,6} を f(x) = 2x と定義すると、

・f(1) = 2、f(2) = 4、f(3) = 6 となり、1対1であり、かつ 全ての値が像として現れます。したがってこの f は 全単射です。

例2: f: {A,B,C} → {1,2,3} を f(A)=1、f(B)=2、f(C)=2 と定義すると、

f は 全射ではありません。値域の 3 はどの元の像にも現れませんし、2 が二つの元に対応して 1対1とは言えないからです。

逆関数と応用

全単射であるとき、逆関数 f^-1: B → A が存在します。逆関数は、f(x) = y のとき x を求める働きをします。これにより、元の情報を逆戻りできる安全な変換として扱えるようになります。

表で復習

able> 性質意味例単射異なる入力は異なる出力になる f(x) = x を {1,2,3} → {1,2,3} 全射値域の全元を必ず像として持つ f: {1,2,3} → {1,2,3}, f(1)=1, f(2)=2, f(3)=3 全単射 1対1かつ全域を満たす f: {1,2,3} → {2,4,6}, f(n)=2n ble>

まとめ

全単射は、一対一であり、全ての元が像として現れるという二つの条件を同時に持つ、特別な種類の関数です。実生活では、データの対応づけや情報の逆変換における「元に対して一つの対応」を保証する場面で役立ちます。

日常の例として、IDカードと番号の対応、座席番号と席の位置の対応など、一つの入力には一つの出力しかない場面は全て全単射の考え方に近いです。

注意点として、値域を広げすぎると全射でなくなることがある点にも気を付けましょう。例えば f: {1,2} → {1,2,3} のようにコードしてしまうと、2つの元しか出ていないのに対象は3つあるため全射ではありません。

最後に、全単射には「逆関数」が存在するという性質も覚えておくとよいです。もし f が全単射なら、f^-1 は定義域と値域の対応を逆にしてくれるので、データの復元や元に戻す操作を安全に行えます。

この考え方は、データベースの主キーと外部キーの対応、あるいは並べ替え・復元アルゴリズムなど、計算機科学の基礎にも深く関わっています。

全単射の同意語

双射: 写像 f: X → Y が単射であるだけでなく全射である、すなわち X の異なる元が Y の異なる元へ一意に対応し、かつ Y の元が必ず X の元へ対応づけられる性質。逆写像 f^{-1}: Y → X が存在する。
1対1対応: X の元と Y の元が一意に対応し、対応は全ての元に対して存在する性質。すなわち単射かつ全射であることを意味する。
一対一対応: 1対1対応と同義。X の元と Y の元が一対一で対応し、すべての元が対応していること。
1対1対応付け: 1対1対応の別表現。写像として、X の元と Y の元の間に一意の対応づけがあること。
一対一対応付け: 1対1対応付けの別表現。すべての元が一意に対応することを示す。
一意対応: 1対1の対応を指す表現。X の元と Y の元が一意に対応し、全元が対応関係を持つことを意味する。
同型写像: 集合間の写像で、存在する逆写像を含めて bijection 的な性質を満たすもの。文脈により「同型」は代数構造を保存する同型写像を指すが、集合の文脈では bijection の同義語として使われることもある。
可逆写像: 逆写像が存在する写像。通常、bijective な場合に限り逆写像が定義できるため、可逆性は bijection の重要な特性の一つである。

全単射の対義語・反対語

非全射: 意味: 全射でないこと。値域の少なくとも1つの要素が写像の像として現れない状態。例: 定義域 {1,2} から値域 {a,b,c} への写像 f(1)=a, f(2)=b は c に対応する元がないので非全射。
非単射: 意味: 単射でないこと。異なる定義域の元が同じ像になる場合がある状態。例: f(1)=0, f(2)=0 のような写像。
単射だが全射でない: 意味: 一意性は保たれているが全域を覆していない状態。例: 自然数から自然数への f(n)=n+1 は単射だが全射ではない。
全射だが単射でない: 意味: 全域を覆っているが、同じ像を複数の元が写す状態。例: f: Z→Z の f(n)=floor(n/2) は全射だが非単射。
非単射かつ非全射: 意味: どちらの性質も満たさない。例: f: Z→Z を定義 f(n)=0 とすると全射ではなく、単射でもない。